Решите уравнение (x + 2) ^ 4 - 4 * (x + 2) ^ 2 - 5 = 0 В ответ запишите сумму найденных корней.
Давайте решим уравнение: \[(x + 2)^4 - 4 \cdot (x + 2)^2 - 5 = 0.\]
Шаг 1: Вводим замену
Обозначим \( y = (x + 2)^2 \). Тогда уравнение превращается в:
\[ y^2 - 4y - 5 = 0. \]
Этот квадратно-треугольное уравнение проще решить.
Шаг 2: Решим квадратичное уравнение относительно \( y \):
\[ y^2 - 4y - 5 = 0. \]
Используем формулу корней квадратичного уравнения:
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}. \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 16 - 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36. \]
Теперь найдем корни:
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}. \]
Это дает два решения:
- \( y_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5. \)
- \( y_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1. \)
Шаг 3: Возвращаемся к \( x \)
Учитывая, что \( y = (x + 2)^2 \), получаем два новых уравнения:
- Для \( y = 5 \):
\[ (x + 2)^2 = 5, \] \[ x + 2 = \pm \sqrt{5}, \] \[ x = -2 \pm \sqrt{5}. \]
- Для \( y = -1 \):
\[ (x + 2)^2 = -1. \]
Так как квадрат числа не отрицателен, решений для этого уравнения нет.
Итог: корни уравнения — это:
\[ x_1 = -2 + \sqrt{5}, \] \[ x_2 = -2 - \sqrt{5}. \]
Шаг 4: Находим сумму корней
\[ x_1 + x_2 = (-2 + \sqrt{5}) + (-2 - \sqrt{5}) = -2 - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = -4. \]
Ответ: сумма найденных корней равна \(\boxed{-4}\).
