Решите уравнение (x + 2) ^ 4 - 4 * (x + 2) ^ 2 - 5 = 0 В ответ запишите сумму найденных корней.

Давайте решим уравнение: \[(x + 2)^4 - 4 \cdot (x + 2)^2 - 5 = 0.\] ### Шаг 1: Вводим замену Обозначим \( y = (x + 2)^2 \). Тогда уравнение превращается в: \[ y^2 - 4y - 5 = 0. \] Этот квадратно-треугольное уравнение проще решить. ### Шаг 2: Решим квадратичное уравнение относительно \( y \): \[ y^2 - 4y - 5 = 0. \] Используем формулу корней квадратичного уравнения: \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}. \] Вычислим дискриминант: \[ D = 16 - 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36. \] Теперь найдем корни: \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}. \] Это дает два решения: 1. \( y_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5. \) 2. \( y_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1. \) ### Шаг 3: Возвращаемся к \( x \) Учитывая, что \( y = (x + 2)^2 \), получаем два новых уравнения: - Для \( y = 5 \): \[ (x + 2)^2 = 5, \] \[ x + 2 = \pm \sqrt{5}, \] \[ x = -2 \pm \sqrt{5}. \] - Для \( y = -1 \): \[ (x + 2)^2 = -1. \] Так как квадрат числа не отрицателен, решений для этого уравнения нет. ### Итог: корни уравнения — это: \[ x_1 = -2 + \sqrt{5}, \] \[ x_2 = -2 - \sqrt{5}. \] ### Шаг 4: Находим сумму корней \[ x_1 + x_2 = (-2 + \sqrt{5}) + (-2 - \sqrt{5}) = -2 - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = -4. \] **Ответ:** сумма найденных корней равна \(\boxed{-4}\).