Рассмотрим задачу поэтапно и подробно объясним каждую часть.
Обозначения:
- Пусть полный путь от пункта А до пункта В равен ( S ) (в единицах пути, например, в километрах).
- Пусть время, за которое велосипедист проехал весь путь, равно ( t_v ) (в минутах).
- Пусть время, за которое пешеход прошёл весь путь, равно ( t_p ) (в минутах).
- Пути, пройденные за определённое время:
- Велосипедист: ( S_v = v_v \cdot t_v = S )
- Пешеход: ( S_p = v_p \cdot t_p = S )
Задача содержит две основные ситуации:
- Когда велосипедист доехал до пункта В, пешеходу осталось пройти три четверти пути.
- Когда пешеход дошёл до пункта В, велосипедист уже ждал его, то есть он был в пункте В на 45 минут раньше.
Шаг 1. Анализ ситуации, когда велосипедист достиг пункта В
Пусть время, за которое велосипедист достиг пункта В, равно ( t_{v} ).
- За это время он прошёл весь путь ( S ).
Пешеход за это же время прошёл часть пути:
[ \text{Путь пешехода} = v_p \cdot t_{v} ]
Остаток пути у пешехода после прибытия велосипедиста:
[ S - v_p \cdot t_{v} ]
По условию, когда велосипедист приехал в В, у пешехода осталось пройти три четверти пути. Значит:
[ S - v_p \cdot t_v = \frac{3}{4} S ]
Откуда:
[ v_p \cdot t_v = S - \frac{3}{4} S = \frac{1}{4} S ]
Шаг 2. Анализ ситуации, когда пешеход достиг пункта В
Через некоторое время после прибытия велосипедиста в В пешеход также достиг В.
Обозначим время, прошедшее с момента прибытия велосипедиста, до момента прибытия пешехода, как ( T ).
- За это время пешеход прошёл:
[ v_p \cdot T ]
- За это время велосипедист также двигался со скоростью ( v_v ), поэтому за это время он прошёл:
[ v_v \cdot T ]
Из условий:
- В момент, когда пешеход прибывает, велосипедист уже ждет его в пункте В, то есть он прибыл туда на 45 минут раньше.
- Следовательно:
[ t_p = t_{v} + T ]
и при этом:
[ T = 45 ]
Поскольку пешеход пришёл в пункт В после прохождения полного пути ( S ), то:
[ v_p \cdot (t_p) = S ]
или
[ v_p \cdot (t_{v} + T) = S ]
Используем известную ранее связь:
[ v_p \cdot t_{v} = \frac{1}{4} S ]
Поэтому:
[ v_p \cdot t_{v} + v_p \cdot T = \frac{1}{4} S + v_p \cdot T ]
Но так как ( v_p \cdot (t_{v} + T) = S ), получаем:
[ \frac{1}{4} S + v_p \cdot T = S ]
Подставим ( v_p \cdot T = v_p \cdot 45 ):
[ \frac{1}{4} S + v_p \cdot 45 = S ]
Шаг 3. Выразим ( v_p ) через ( S ) и ( t_v )
Из ранее полученной связи:
[ v_p \cdot t_{v} = \frac{1}{4} S ]
Отсюда:
[ v_p = \frac{\frac{1}{4} S}{t_v} = \frac{S}{4 t_v} ]
Подставим ( v_p ) в последнее выражение:
[ \frac{S}{4 t_v} \cdot 45 = S - \frac{1}{4} S ]
Раскроем скобки:
[ \frac{S \cdot 45}{4 t_v} = \frac{3}{4} S ]
Множим обе части уравнения на ( 4 t_v ):
[ S \cdot 45 = 3 S t_v ]
Делим обе части уравнения на ( S ):
[ 45 = 3 t_v ]
Следовательно:
[ t_v = \frac{45}{3} = 15 ]
Ответ:
Велосипедист ехал из пункта А в пункт В 15 минут.
