Велосипедист и пешеход одновременно начали движение из пункта А в пункт B. Когда велосипедист приехал в пункт B, пешеходу осталось пройти три четверти всего пути. Когда пешеход…

Рассмотрим задачу поэтапно и подробно объясним каждую часть.

Обозначения:

• Пусть полный путь от пункта А до пункта В равен \( S \) (в единицах пути, например, в километрах).
• Пусть время, за которое велосипедист проехал весь путь, равно \( t_v \) (в минутах).
• Пусть время, за которое пешеход прошёл весь путь, равно \( t_p \) (в минутах).
• Пути, пройденные за определённое время:
  • Велосипедист: \( S_v = v_v \cdot t_v = S \)
  • Пешеход: \( S_p = v_p \cdot t_p = S \)

Задача содержит две основные ситуации:

1. Когда велосипедист доехал до пункта В, пешеходу осталось пройти три четверти пути.
2. Когда пешеход дошёл до пункта В, велосипедист уже ждал его, то есть он был в пункте В на 45 минут раньше.

Шаг 1. Анализ ситуации, когда велосипедист достиг пункта В

Пусть время, за которое велосипедист достиг пункта В, равно \( t_{v} \).

• За это время он прошёл весь путь \( S \).

Пешеход за это же время прошёл часть пути:
\[ \text{Путь пешехода} = v_p \cdot t_{v} \]

Остаток пути у пешехода после прибытия велосипедиста:
\[ S - v_p \cdot t_{v} \]

По условию, когда велосипедист приехал в В, у пешехода осталось пройти три четверти пути. Значит:
\[ S - v_p \cdot t_v = \frac{3}{4} S \]

Откуда:
\[ v_p \cdot t_v = S - \frac{3}{4} S = \frac{1}{4} S \]

Шаг 2. Анализ ситуации, когда пешеход достиг пункта В

Через некоторое время после прибытия велосипедиста в В пешеход также достиг В.
Обозначим время, прошедшее с момента прибытия велосипедиста, до момента прибытия пешехода, как \( T \).

• За это время пешеход прошёл:
  \[ v_p \cdot T \]
• За это время велосипедист также двигался со скоростью \( v_v \), поэтому за это время он прошёл:
  \[ v_v \cdot T \]

Из условий:

• В момент, когда пешеход прибывает, велосипедист уже ждет его в пункте В, то есть он прибыл туда на 45 минут раньше.
• Следовательно:
  \[ t_p = t_{v} + T \] и при этом:
  \[ T = 45 \]

Поскольку пешеход пришёл в пункт В после прохождения полного пути \( S \), то:
\[ v_p \cdot (t_p) = S \] или
\[ v_p \cdot (t_{v} + T) = S \]

Используем известную ранее связь:
\[ v_p \cdot t_{v} = \frac{1}{4} S \]

Поэтому:
\[ v_p \cdot t_{v} + v_p \cdot T = \frac{1}{4} S + v_p \cdot T \]

Но так как \( v_p \cdot (t_{v} + T) = S \), получаем:
\[ \frac{1}{4} S + v_p \cdot T = S \]

Подставим \( v_p \cdot T = v_p \cdot 45 \):

\[ \frac{1}{4} S + v_p \cdot 45 = S \]

Шаг 3. Выразим \( v_p \) через \( S \) и \( t_v \)

Из ранее полученной связи:
\[ v_p \cdot t_{v} = \frac{1}{4} S \]

Отсюда:
\[ v_p = \frac{\frac{1}{4} S}{t_v} = \frac{S}{4 t_v} \]

Подставим \( v_p \) в последнее выражение:
\[ \frac{S}{4 t_v} \cdot 45 = S - \frac{1}{4} S \]

Раскроем скобки:
\[ \frac{S \cdot 45}{4 t_v} = \frac{3}{4} S \]

Множим обе части уравнения на \( 4 t_v \):
\[ S \cdot 45 = 3 S t_v \]

Делим обе части уравнения на \( S \):
\[ 45 = 3 t_v \]

Следовательно:
\[ t_v = \frac{45}{3} = 15 \]

Ответ:

Велосипедист ехал из пункта А в пункт В 15 минут.