исследовать на монотонность функцию и найти её экстремумы
Давайте подробно разберем задачу: исследуем на монотонность функцию \( y = 3x^3 + 2x^2 - 14 \) и найдем ее экстремумы.
Шаг 1. Найдем первую производную функции \( y' \)
Для этого возьмем производную по \(x\): \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 + 2x^2 - 14) = 9x^2 + 4x \]
Шаг 2. Исследуем знак производной \( y' \)
Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, необходимо найти, при каких значениях \(x\) производная равна нулю: \[ 9x^2 + 4x = 0 \] Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(9x + 4) = 0 \]
Ррошение: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 9x + 4 = 0 \] \[ 9x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{9} \]
Итак, критические точки: \(x = 0\) и \(x = -\frac{4}{9}\).
Шаг 3. Анализ знака производной на промежутках
Разделим числовую ось на три интервала по найденным критическим точкам:
- \((-\infty, -\frac{4}{9})\)
- \(\left(-\frac{4}{9}, 0\right)\)
- \((0, +\infty)\)
Выбираем тестовые точки:
- для \((-\infty, -\frac{4}{9})\): возьмем \(x = -1\)
- для \(\left(-\frac{4}{9}, 0\right)\): возьмем \(x = -\frac{1}{2}\)
- для \((0, +\infty)\): возьмем \(x=1\)
Подставим в \( y' = 9x^2 + 4x \):
\(x = -1\): \[ y' = 9(1) + 4(-1) = 9 - 4 = 5 > 0 \] Функция возрастает на этом интервале.
\(x = -\frac{1}{2}\): \[ y' = 9 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 9 \times \frac{1}{4} - 2 = \frac{9}{4} - 2 = \frac{1}{4} > 0 \] Функция также возрастает на этом интервале.
\(x= 1 \): \[ y' = 9 \times 1 + 4 \times 1 = 9 + 4 = 13 > 0 \] Функция возрастает на всех интервалах.
Вывод по анализу знака:
Производная \(y'\) положительна на всей оси — значит, функция \( y = 3x^3 + 2x^2 - 14 \) всегда возрастает.
Шаг 4. Экстремумы
Поскольку производная никогда не меняет знак с положительного на отрицательный (или обратно), экстремумов — минимумов или максимумов — у функции нет.
Итог
- Функция возрастает на всей области определения.
- Экстремусов у функции — нет.
Если есть дополнительные вопросы или нужно более глубокое исследование, скажите!
