Давайте решим уравнение (\ tg 2x = 1 ) пошагово и подробно объясним каждое действие.
Шаг 1: Recall the definition
[
tg 2x = 1
]
Это означает, что тангенс двойного угла равен 1.
Шаг 2: Используем известное значение
Знаем, что:
[
tg \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}
]
так как тангенс равен 1 при углах, равных (45^\circ) (или (\pi/4) радиан), и его период составляет (\pi).
В нашем случае, (\theta = 2x), значит:
[
2x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Шаг 3: Решаем уравнение относительно (x)
Делим обе части уравнения на 2:
[
x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Итог
Общее решение уравнения:
[
\boxed{
x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}
}
]
Дополнительное пояснение
- Значения (x) задают все углы, при которых тангенс двойного угла равен 1.
- Величина (k) — произвольное целое число, что говорит о бесконечности решений.
Если нужно, могу помочь разобраться в конкретных числовых значениях или в графическом представлении.
