водитель автомобиля начал торможения за секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую,…
Водитель автомобиля начал торможения за секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую, сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Рассмотрим задачу пошагово.
Дано:
- Время торможения — T секунд (нужно определить).
- Первый промежуток времени — 1 секунда, за которую автомобиль проехал 25 м.
- Каждую следующую секунду автомобиль проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую.
- Автомобиль полностью остановился после T секунд.
Задача:
Найти общее расстояние, которое пройдено до полной остановки.
Шаг 1: Запишем расстояния, пройденные за каждый интервал
Обозначим:
- \(d_1 = 25\) м — расстояние за первую секунду.
- За следующую секунду — \(d_2 = 25 - 5 = 20\) м.
- За третью — \(d_3 = 20 - 5 = 15\) м.
- И так далее.
Общее расстояние за \(T\) секунд — сумма арифметической прогрессии.
Шаг 2: Формула для расстояний
Расстояния за каждую секунду формируются по арифметической прогрессии:
\[ d_n = d_1 - (n - 1) \times 5 \]
где \(n\) — номер секунды.
Для полной остановки: последний промежуток — это момент, когда автомобиль полностью остановился, то есть \(d_T\) — последний промежуток.
Шаг 3: Найти максимальное число \(T\)
За последний интервал пройденное расстояние должно быть положительным, иначе автомобиль не двигался бы.
\[ d_T = 25 - (T - 1) \times 5 > 0 \]
\[ 25 - 5(T - 1) > 0 \]
\[ 25 - 5T + 5 > 0 \]
\[ 30 - 5T > 0 \]
\[ 30 > 5T \]
\[ T < 6 \]
Значит, \(T\) — целое число, и так как \(d_T > 0\):
- Для \(T=5\):
\[ d_5 = 25 - (5 - 1)\times 5 = 25 - 4 \times 5 = 25 - 20 = 5 \text{ м} \] Это допустимо, так как расстояние положительное.
Для \(T=6\):
\[ d_6 = 25 - 5 \times 5 = 0 \text{ м} \]
Автомобиль бы полностью остановился в конце пятой секунды, а в шестой — уже 0 м.
Итак, максимально возможное число секунд — \(T=6\), при котором расстояние за последний интервал равно 0 — автомобиль полностью остановился.
Шаг 4: Найти сумму пройденных расстояний
Общая пройденная длина — сумма арифметической прогрессии:
\[ S_T = \frac{T}{2} \times (d_1 + d_T) \]
где:
- \(d_1 = 25\) м,
- \(d_T = 25 - (T - 1) \times 5\).
Для \(T=6\):
\[ d_6 = 25 - (6 - 1) \times 5 = 25 - 5 \times 5 = 0 \]
Общий пройденный путь:
\[ S_6 = \frac{6}{2} \times (25 + 0) = 3 \times 25 = 75 \text{ м} \]
Ответ:
Автомобиль прошёл 75 метров до полной остановки.
Если потребуется более подробное объяснение или помощь с другими вариантами, скажите!
