Найдите точку минимума функции y=(64-x)e^(64-x)

Давайте подробно разберем задачу: найти точку минимума функции \( y = (64 - x) e^{(64 - x)} \). --- ### Шаг 1: Анализ функции Функция имеет вид: \[ y = (64 - x) e^{(64 - x)} \] Обратим внимание, что переменная \(x\) входит в два слагаемых: - В линейную часть \((64 - x)\) - В показатель экспоненты \(\exp(64 - x)\) --- ### Шаг 2: Найдите первую производную \( y' \) Чтобы найти точки экстремума (минимумы или максимумы), нужно найти критические точки — те \(x\), где производная равна нулю или не определена. Используем правило произведения: \[ y = u \cdot v \], где \[ u = (64 - x), \quad v = e^{(64 - x)} \] Производные: \[ u' = -1 \] \[ v' = e^{(64 - x)} \cdot (-1) = -e^{(64 - x)} \] Производная по правилу произведения: \[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Подставим: \[ y' = (-1) \cdot e^{(64 - x)} + (64 - x) \cdot (-e^{(64 - x)}) \] Вынесем за скобки \( e^{(64 - x)} \): \[ y' = e^{(64 - x)} \cdot [ -1 - (64 - x) ] \] Упростим выражение в скобках: \[ -1 - (64 - x) = -1 - 64 + x = x - 65 \] Итак, \[ y' = e^{(64 - x)} \cdot (x - 65) \] --- ### Шаг 3: Находим критические точки Критические точки задаются уравнением: \[ y' = 0 \] Так как \( e^{(64 - x)} \neq 0 \) для всех \(x\), то уравнение равно нулю, когда: \[ x - 65 = 0 \] Тогда: \[ x = 65 \] --- ### Шаг 4: Определение характера точки — минимум или максимум Теперь изучим поведение функции вокруг точки \( x = 65 \). Для этого найдем вторую производную \( y'' \) или проанализируем знак первой производной. --- ### Шаг 5: Вторая производная (вариант) Вычислим \( y'' \), зная, что: \[ y' = e^{(64 - x)} (x - 65) \] Используем правило произведения: \[ y'' = \frac{d}{dx} [ e^{(64 - x)} (x - 65) ] \] Обозначим: \[ u = e^{(64 - x)} \] \[ v = x - 65 \] Производные: \[ u' = - e^{(64 - x)} \] \[ v' = 1 \] Тогда: \[ y'' = u' v + u v' = (- e^{(64 - x)})(x - 65) + e^{(64 - x)} \cdot 1 \] Вынесем \( e^{(64 - x)} \): \[ y'' = e^{(64 - x)} [ - (x - 65) + 1 ] \] Раскроем скобки: \[ y'' = e^{(64 - x)} [ -x + 65 + 1 ] = e^{(64 - x)} (66 - x) \] --- ### Шаг 6: Анализ знака второй производной Подставим критическую точку \(x=65\): \[ y''(65) = e^{(64 - 65)} \cdot (66 - 65) = e^{-1} \cdot 1 > 0 \] Так как вторая производная положительна, то в точке \( x=65 \) функция достигает локального ***минимума***. --- ### **Ответ:** **Точка минимума функции \( y = (64 - x) e^{(64 - x)} \) достигается при \( x = 65 \).** Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x=65 \): \[ y(65) = (64 - 65) \cdot e^{(64 - 65)} = (-1) \cdot e^{-1} = - \frac{1}{e} \] --- ### Итог: **Минимум функции:** - В точке \( x = 65 \) - Значение функции в этой точке: \( y = - \frac{1}{e} \).