Найдите точку минимума функции y=(64-x)e^(64-x)
Давайте подробно разберем задачу: найти точку минимума функции \( y = (64 - x) e^{(64 - x)} \).
Шаг 1: Анализ функции
Функция имеет вид:
\[ y = (64 - x) e^{(64 - x)} \]
Обратим внимание, что переменная \(x\) входит в два слагаемых:
- В линейную часть \((64 - x)\)
- В показатель экспоненты \(\exp(64 - x)\)
Шаг 2: Найдите первую производную \( y' \)
Чтобы найти точки экстремума (минимумы или максимумы), нужно найти критические точки — те \(x\), где производная равна нулю или не определена.
Используем правило произведения:
\[ y = u \cdot v \], где
\[ u = (64 - x), \quad v = e^{(64 - x)} \]
Производные:
\[ u' = -1 \]
\[ v' = e^{(64 - x)} \cdot (-1) = -e^{(64 - x)} \]
Производная по правилу произведения:
\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]
Подставим:
\[ y' = (-1) \cdot e^{(64 - x)} + (64 - x) \cdot (-e^{(64 - x)}) \]
Вынесем за скобки \( e^{(64 - x)} \):
\[ y' = e^{(64 - x)} \cdot [ -1 - (64 - x) ] \]
Упростим выражение в скобках:
\[ -1 - (64 - x) = -1 - 64 + x = x - 65 \]
Итак,
\[ y' = e^{(64 - x)} \cdot (x - 65) \]
Шаг 3: Находим критические точки
Критические точки задаются уравнением:
\[ y' = 0 \]
Так как \( e^{(64 - x)} \neq 0 \) для всех \(x\), то уравнение равно нулю, когда:
\[ x - 65 = 0 \]
Тогда:
\[ x = 65 \]
Шаг 4: Определение характера точки — минимум или максимум
Теперь изучим поведение функции вокруг точки \( x = 65 \). Для этого найдем вторую производную \( y'' \) или проанализируем знак первой производной.
Шаг 5: Вторая производная (вариант)
Вычислим \( y'' \), зная, что:
\[ y' = e^{(64 - x)} (x - 65) \]
Используем правило произведения:
\[ y'' = \frac{d}{dx} [ e^{(64 - x)} (x - 65) ] \]
Обозначим:
\[ u = e^{(64 - x)} \]
\[ v = x - 65 \]
Производные:
\[ u' = - e^{(64 - x)} \]
\[ v' = 1 \]
Тогда:
\[ y'' = u' v + u v' = (- e^{(64 - x)})(x - 65) + e^{(64 - x)} \cdot 1 \]
Вынесем \( e^{(64 - x)} \):
\[ y'' = e^{(64 - x)} [ - (x - 65) + 1 ] \]
Раскроем скобки:
\[ y'' = e^{(64 - x)} [ -x + 65 + 1 ] = e^{(64 - x)} (66 - x) \]
Шаг 6: Анализ знака второй производной
Подставим критическую точку \(x=65\):
\[ y''(65) = e^{(64 - 65)} \cdot (66 - 65) = e^{-1} \cdot 1 > 0 \]
Так как вторая производная положительна, то в точке \( x=65 \) функция достигает локального минимума.
Ответ:
Точка минимума функции \( y = (64 - x) e^{(64 - x)} \) достигается при \( x = 65 \).
Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x=65 \):
\[ y(65) = (64 - 65) \cdot e^{(64 - 65)} = (-1) \cdot e^{-1} = - \frac{1}{e} \]
Итог:
Минимум функции:
- В точке \( x = 65 \)
- Значение функции в этой точке: \( y = - \frac{1}{e} \).
