.
Задача: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB угол C в 4 раза больше угла A. Найдите величину внешнего угла при вершине B.
Решение:
Обозначим углы треугольника:
- угол A — обозначим как \( x \),
- угол C — тогда по условию в 4 раза больше угла A, значит \( 4x \),
- угол B — обозначим как \( y \).
В треугольнике сумма внутренних углов равна 180°. Следовательно: \[ x + y + 4x = 180^\circ \] \[ 5x + y = 180^\circ \]
Так как треугольник равнобедренный (основа AB), то углы при основании равны. В этом случае, если основание AB, то углы A и B — не равны, поскольку известно, что угол C — либо при вершине C, либо при основании.
Но по условию: "В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AB \) угол \( C \) в 4 раза больше угла \( A \)", то есть — структура треугольника такова, что основание — это сторона \( AB \), а \( C \) — вершина, противоположная основанию.
В равнобедренном треугольнике, где основание \( AB \), углы при основании равны. То есть:
- угол \( A \) и угол \( B \) равны, потому что стороны \( AC \) и \( BC \) равны.
Следовательно: \[ A = B = x \]
Остальные углы: \[ C = 4x \]
Тогда сумма: \[ A + B + C = 180^\circ \] \[ x + x + 4x = 180^\circ \] \[ 6x = 180^\circ \] \[ x = 30^\circ \]
Значит: \[ A = B = 30^\circ \] \[ C = 4 \times 30^\circ = 120^\circ \]
Внешний угол при вершине \( B \):
Внешний угол равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, не прилегающих к нему, или можно использовать свойство, что внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не соседних с ним.
В частности, внешний угол при вершине \( B \) равен: \[ 180^\circ - \text{внутренний угол } B \]
Или, если говорить о внешнем угле, "дома" при вершине \( B \), то внешнее и внутреннее рядом лежащие углы в сумме дают 180°.
Однако, конкретно, внешний угол при вершине \( B \) равен: \[ 180^\circ - \text{внутренний угол } B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \]
Итог: Величина внешнего угла при вершине B равна 150°.
Ответ: 150°
