Найдите значение выражения

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

Задача: Найти значение выражения
\[ (n + 6)^2 + (2 - n)(2 + n) \] при \(n = -\frac{5}{12}\).

Шаг 1: Подставим значение \(n\) в выражение.

\[ \left( -\frac{5}{12} + 6 \right)^2 + (2 - \left(-\frac{5}{12}\right)) (2 + \left(-\frac{5}{12}\right)) \]

Шаг 2: Упростим каждую часть отдельно.

Первая часть:

\[ -\frac{5}{12} + 6 \]

Перепишем 6 как дробь с знаменателем 12:

\[ 6 = \frac{72}{12} \]

Тогда:

\[ -\frac{5}{12} + \frac{72}{12} = \frac{67}{12} \]

Теперь возьмем квадрат:

\[ \left(\frac{67}{12}\right)^2 = \frac{67^2}{12^2} = \frac{4489}{144} \]

Вторая часть:

\[ (2 - (-\frac{5}{12})) (2 + (-\frac{5}{12})) \]

Упростим каждое выражение внутри скобок:

\[ 2 + \frac{5}{12} \quad \text{и} \quad 2 - \frac{5}{12} \]

Запишем 2 с общим знаменателем 12:

\[ 2 = \frac{24}{12} \]

Тогда:

\[ 2 + \frac{5}{12} = \frac{24}{12} + \frac{5}{12} = \frac{29}{12} \] и \[ 2 - \frac{5}{12} = \frac{24}{12} - \frac{5}{12} = \frac{19}{12} \]

Теперь перемножим:

\[ \frac{29}{12} \times \frac{19}{12} = \frac{29 \times 19}{144} \]

Вычислим числитель:

\[ 29 \times 19 = (30 - 1) \times 19 = 30 \times 19 - 1 \times 19 = 570 - 19 = 551 \]

Значит:

\[ \frac{551}{144} \]

Шаг 3: Объединим полученные части.

Итак, итоговое выражение:

\[ \frac{4489}{144} + \frac{551}{144} = \frac{4489 + 551}{144} = \frac{5040}{144} \]

Шаг 4: Упростим дробь.

Делим числитель и знаменатель на 144:

\[ \frac{5040}{144} \]

Находим делитель:
\(144 \times 35 = 5040\).

Следовательно,

\[ \frac{5040}{144} = 35 \]

Ответ: \(\boxed{35}\).

Если есть дополнительные вопросы, можете задавать!