Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 12,3 см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

Рассмотрим задачу: радиус вписанной окружности правильного треугольника равен 12,3 см. Нужно найти сторону треугольника и его площадь.

Шаг 1. Обозначим сторону треугольника как \( a \).

Шаг 2. Связь между радиусом вписанной окружности \( r \) и стороной правильного треугольника \( a \).

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) выражается через сторону \( a \) следующим образом: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Это происходит потому, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.

Шаг 3. Используем формулу для поиска \( a \): \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6r}{\sqrt{3}} \]

Подставим значение \( r = 12{,}3 \) см: \[ a = \frac{6 \times 12{,}3}{\sqrt{3}} \]

Шаг 4. Упростим: \[ a = \frac{73{,}8}{\sqrt{3}} \]

Рекомендуется избавиться от иррациональности в знаменателе: \[ a = \frac{73{,}8}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{73{,}8 \sqrt{3}}{3} \]

В качестве приближенного значения:

\(\sqrt{3} \approx 1,732\)

Тогда: \[ a \approx \frac{73{,}8 \times 1,732}{3} \] \[ a \approx \frac{127,89}{3} \approx 42,63 \text{ см} \]

Ответ на первый вопрос: сторона треугольника примерно \( 42,63 \) см.

Шаг 5. Найдём площадь правильного треугольника.

Площадь \( S \) правильного треугольника с стороной \( a \): \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Подставим значение \( a \approx 42,63 \) см:

\[ S \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \times (42,63)^2 \]

Сначала найдём \( a^2 \): \[ a^2 \approx (42,63)^2 \approx 1814,2 \]

Теперь умножим: \[ S \approx \frac{1,732}{4} \times 1814,2 \]

Выполним последовательные вычисления: \[ \frac{1,732}{4} \approx 0,433 \] \[ S \approx 0,433 \times 1814,2 \approx 787,4 \text{ см}^2 \]

Итог:

• Длина стороны треугольника: примерно 42,63 см
• Площадь треугольника: примерно 787,4 см²

Если нужны более точные значения или объяснения — скажите.