Рассмотрим задачу: радиус вписанной окружности правильного треугольника равен 12,3 см. Нужно найти сторону треугольника и его площадь.
Шаг 1. Обозначим сторону треугольника как ( a ).
Шаг 2. Связь между радиусом вписанной окружности ( r ) и стороной правильного треугольника ( a ).
Для правильного треугольника радиус вписанной окружности ( r ) выражается через сторону ( a ) следующим образом:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
Это происходит потому, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Шаг 3. Используем формулу для поиска ( a ):
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6r}{\sqrt{3}}
]
Подставим значение ( r = 12{,}3 ) см:
[
a = \frac{6 \times 12{,}3}{\sqrt{3}}
]
Шаг 4. Упростим:
[
a = \frac{73{,}8}{\sqrt{3}}
]
Рекомендуется избавиться от иррациональности в знаменателе:
[
a = \frac{73{,}8}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{73{,}8 \sqrt{3}}{3}
]
В качестве приближенного значения:
(\sqrt{3} \approx 1,732)
Тогда:
[
a \approx \frac{73{,}8 \times 1,732}{3}
]
[
a \approx \frac{127,89}{3} \approx 42,63 \text{ см}
]
Ответ на первый вопрос: сторона треугольника примерно ( 42,63 ) см.
Шаг 5. Найдём площадь правильного треугольника.
Площадь ( S ) правильного треугольника с стороной ( a ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим значение ( a \approx 42,63 ) см:
[
S \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \times (42,63)^2
]
Сначала найдём ( a^2 ):
[
a^2 \approx (42,63)^2 \approx 1814,2
]
Теперь умножим:
[
S \approx \frac{1,732}{4} \times 1814,2
]
Выполним последовательные вычисления:
[
\frac{1,732}{4} \approx 0,433
]
[
S \approx 0,433 \times 1814,2 \approx 787,4 \text{ см}^2
]
Итог:
- Длина стороны треугольника: примерно 42,63 см
- Площадь треугольника: примерно 787,4 см²
Если нужны более точные значения или объяснения — скажите.
