Реши все задачи
Конечно! Вот подробные решения всех задач из вашего варианта:
1. Решить неравенства:
1.1. \(20 - 3(x - 5) < 19 - 7x\)
Раскроем скобки:
\(20 - 3x + 15 < 19 - 7x\)
Объединим подобные:
\(35 - 3x < 19 - 7x\)
Перенесем все переменные в одну сторону:
\(-3x + 7x < 19 - 35\)
\(4x < -16\)
Разделим обе части на 4:
\(x < -4\)
Ответ: \(x < -4\)
1.2. \(x^2 - 4x + 3 \ge 0\)
Квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения:
\(x^2 - 4x + 3 = 0\)
Решим через дискриминант:
\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\)
Корни:
\(x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}\)
Получаем:
\(x = 1\) и \(x = 3\)
Парабола открыта вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен), значит:
\(\ge 0\) — вне интервала между корнями, или на границе.
Ответ: \((-\infty, 1] \cup [3, +\infty)\)
1.3. \(\frac{x - 5}{x + 7} \ge 0\)
Рассмотрим знак дроби: знак накопит от положительных и отрицательных чисел.
Область определения: \(x \neq -7\).
Знаки:
Изменяется при \(x = 5\) и \(x = -7\).
Интервалы:
\(-\infty, -7\), \(-7, 5\), \(5, +\infty\).
Проверим знак в каждом интервале:
- Для \(x < -7\):
числитель: отрицательно, делитель: отрицательно → отношение: положительно (≥ 0). - Для \(-7 < x < 5\):
числитель: отрицательно, делитель: положительно → отношение: отрицательно. - Для \(x > 5\):
числитель: положительно, делитель: положительно → отношение: положительно.
Также проверим точки:
- \(x=5\): \(\frac{0}{x+7} = 0\), что подходит (≥ 0).
- \(x=-7\): деление на ноль, исключено.
Ответ:
\(\boxed{(-\infty, -7) \cup [5, +\infty)}\).
2. Решить системы неравенств:
2.1.
\[ \begin{cases} 2x + 12 \ge 0 \\ x + 5 \le 2 \end{cases} \]
Решим каждое неравенство отдельно:
- \(2x + 12 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6\)
- \(x \le -3\) (так как \(x + 5 \le 2 \Rightarrow x \le -3\))
Область решений: пересечение интервалов \([ -6, \infty )\) и \(( -\infty, -3]\):
Ответ: \(\boxed{[-6, -3]}\).
2.2.
\[ \begin{cases} x^2 - 9x + 8 \le 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \]
Квадратичное неравенство:
Рассчитаем корни уравнения \(x^2 - 9x + 8 = 0\):
Дискриминант:
\(D = 81 - 32 = 49\).
Корни:
\(\frac{9 \pm 7}{2}\):
- \(x = \frac{16}{2} = 8\)
- \(x = \frac{2}{2} = 1\)
Парабола открыта вверх, неравенство \(\le 0\) — внутри интервала \([1,8]\).
Второе неравенство: \(x > 3\).
Общее решение — пересечение:
\([1,8]\) и \((3,\infty)\) → \((3,8]\).
Ответ: \(\boxed{(3,8]}\).
3. Вычислить сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, первый член \(a_1=8\), разность \(d=6\):
\[ S_{10} = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \] \[ S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 8 + (10-1) \cdot 6) = 5 \times (16 + 54) = 5 \times 70 = 350 \]
Ответ: 350.
4. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии \(b_n\), если \(b_1=-1\), \(q=-3\):
Общая формула суммы \(n\) первых элементов геометрической прогрессии:
\[
S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]
Подставляем:
\[
S_5 = -1 \times \frac{(-3)^5 - 1}{-3 - 1} = -1 \times \frac{-243 - 1}{-4} = -1 \times \frac{-244}{-4} = -1 \times 61 = -61
\]
Ответ: -61.
5. Решить уравнение:
\[x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0\]
Пробуем ищем рациональные корни: делители свободного члена \(-18\): \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18\).
Проверим \(x=2\):
\[ 2^3 + 2 \times 2^2 - 9 \times 2 - 18 = 8 + 8 - 18 - 18 = -20 \neq 0 \]
Проверим \(x=-3\):
\[ (-3)^3 + 2 \times (-3)^2 - 9 \times (-3) - 18 = -27 + 18 + 27 - 18= 0 \]
Значит, \(x = -3\) — корень.
Разделим многочлен на \((x+3)\). Получаем квадратичное уравнение:
Используя деление или формулу Виета, после деления получим:
\[ x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = (x+3)(x^2 - x - 6) \]
Решаем квадратичное:
\(x^2 - x - 6 = 0\),
дискриминант: \(1 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25\),
Корни:
\(\frac{1 \pm 5}{2}\):
- \(\frac{1+5}{2} = 3\)
- \(\frac{1-5}{2} = -2\)
Итог:
Ответ: \(\boxed{x = -3, 3, -2}\).
6. Решить систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 25 \\ 3x^2 + 12 y^2 = 25 x \end{cases} \]
Примерный метод — подставим из первого уравнения:
Обозначим \(A = x^2\), \(B= y^2\). Тогда:
- \(A + 4B = 25\)
- \(3A + 12B = 25 x\)
Из первого уравнения:
\(A = 25 - 4 B\)
Подставим во второе:
\(3(25 - 4B) + 12 B = 25 x\)
Объединим:
\(75 - 12 B + 12 B = 25 x\)
Тогда:
(75
