Реши все задачи
Ответ нейросети
28 апреля 2025 08:07
Конечно! Вот подробные решения всех задач из вашего варианта:
1. Решить неравенства:
1.1. (20 - 3(x - 5) < 19 - 7x)
Раскроем скобки:
(20 - 3x + 15 < 19 - 7x)
Объединим подобные:
(35 - 3x < 19 - 7x)
Перенесем все переменные в одну сторону:
(-3x + 7x < 19 - 35)
(4x < -16)
Разделим обе части на 4:
(x < -4)
Ответ: (x < -4)
1.2. (x^2 - 4x + 3 \ge 0)
Квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения:
(x^2 - 4x + 3 = 0)
Решим через дискриминант:
(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4)
Корни:
(x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2})
Получаем:
(x = 1) и (x = 3)
Парабола открыта вверх (коэффициент при (x^2) положителен), значит:
(\ge 0) — вне интервала между корнями, или на границе.
Ответ: ((-\infty, 1] \cup [3, +\infty))
1.3. (\frac{x - 5}{x + 7} \ge 0)
Рассмотрим знак дроби: знак накопит от положительных и отрицательных чисел.
Область определения: (x \neq -7).
Знаки:
Изменяется при (x = 5) и (x = -7).
Интервалы:
(-\infty, -7), (-7, 5), (5, +\infty).
Проверим знак в каждом интервале:
- Для (x < -7):
числитель: отрицательно, делитель: отрицательно → отношение: положительно (≥ 0). - Для (-7 < x < 5):
числитель: отрицательно, делитель: положительно → отношение: отрицательно. - Для (x > 5):
числитель: положительно, делитель: положительно → отношение: положительно.
Также проверим точки:
- (x=5): (\frac{0}{x+7} = 0), что подходит (≥ 0).
- (x=-7): деление на ноль, исключено.
Ответ:
(\boxed{(-\infty, -7) \cup [5, +\infty)}).
2. Решить системы неравенств:
2.1.
[ \begin{cases} 2x + 12 \ge 0 \ x + 5 \le 2 \end{cases} ]
Решим каждое неравенство отдельно:
- (2x + 12 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6)
- (x \le -3) (так как (x + 5 \le 2 \Rightarrow x \le -3))
Область решений: пересечение интервалов ([ -6, \infty )) и (( -\infty, -3]):
Ответ: (\boxed{[-6, -3]}).
2.2.
[ \begin{cases} x^2 - 9x + 8 \le 0 \ x - 3 > 0 \end{cases} ]
Квадратичное неравенство:
Рассчитаем корни уравнения (x^2 - 9x + 8 = 0):
Дискриминант:
(D = 81 - 32 = 49).
Корни:
(\frac{9 \pm 7}{2}):
- (x = \frac{16}{2} = 8)
- (x = \frac{2}{2} = 1)
Парабола открыта вверх, неравенство (\le 0) — внутри интервала ([1,8]).
Второе неравенство: (x > 3).
Общее решение — пересечение:
([1,8]) и ((3,\infty)) → ((3,8]).
Ответ: (\boxed{(3,8]}).
3. Вычислить сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, первый член (a_1=8), разность (d=6):
[ S_{10} = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ] [ S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 8 + (10-1) \cdot 6) = 5 \times (16 + 54) = 5 \times 70 = 350 ]
Ответ: 350.
4. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), если (b_1=-1), (q=-3):
Общая формула суммы (n) первых элементов геометрической прогрессии:
[
S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}
]
Подставляем:
[
S_5 = -1 \times \frac{(-3)^5 - 1}{-3 - 1} = -1 \times \frac{-243 - 1}{-4} = -1 \times \frac{-244}{-4} = -1 \times 61 = -61
]
Ответ: -61.
5. Решить уравнение:
[x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0]
Пробуем ищем рациональные корни: делители свободного члена (-18): (\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18).
Проверим (x=2):
[ 2^3 + 2 \times 2^2 - 9 \times 2 - 18 = 8 + 8 - 18 - 18 = -20 \neq 0 ]
Проверим (x=-3):
[ (-3)^3 + 2 \times (-3)^2 - 9 \times (-3) - 18 = -27 + 18 + 27 - 18= 0 ]
Значит, (x = -3) — корень.
Разделим многочлен на ((x+3)). Получаем квадратичное уравнение:
Используя деление или формулу Виета, после деления получим:
[ x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = (x+3)(x^2 - x - 6) ]
Решаем квадратичное:
(x^2 - x - 6 = 0),
дискриминант: (1 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25),
Корни:
(\frac{1 \pm 5}{2}):
- (\frac{1+5}{2} = 3)
- (\frac{1-5}{2} = -2)
Итог:
Ответ: (\boxed{x = -3, 3, -2}).
6. Решить систему уравнений:
[ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 25 \ 3x^2 + 12 y^2 = 25 x \end{cases} ]
Примерный метод — подставим из первого уравнения:
Обозначим (A = x^2), (B= y^2). Тогда:
- (A + 4B = 25)
- (3A + 12B = 25 x)
Из первого уравнения:
(A = 25 - 4 B)
Подставим во второе:
(3(25 - 4B) + 12 B = 25 x)
Объединим:
(75 - 12 B + 12 B = 25 x)
Тогда:
(75
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
