Натуральное число обладает тремя свойствами. Во-первых, оно делится на 18. Во-вторых, оно меньше, чем 4000. В-третьих, в этом числе третья цифра на 3 больше второй, а четвёртая…
Натуральное число обладает тремя свойствами. Во-первых, оно делится на 18. Во-вторых, оно меньше, чем 4000. В-третьих, в этом числе третья цифра на 3 больше второй, а четвёртая цифра на 3 больше третьей. Найдите это число.
Рассмотрим задачу пошагово и подробно объясним каждое решение.
Дано:
- Натуральное число делится на 18.
- Оно меньше 4000.
- Третья цифра числа на 3 больше второй.
- Четвёртая цифра числа на 3 больше третьей.
Цель: Найти это число.
Шаг 1. Анализ условий делимости и ограничения по числу
Делимость на 18: число должно делиться на 18.
- 18 = 2 * 9.
- Значит, число делится на 2 и на 9.
Делимость на 2: число должно быть чётным, то есть последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6, или 8.
Меньше 4000: число — четырёхзначное или трёхзначное число, меньшее 4000.
Шаг 2. Структура числа
Обозначим число за ABCD, где:
- A — первая (старшая) цифра,
- B — вторая,
- C — третья,
- D — четвёртая.
Поскольку число меньше 4000, возможные значения A: 1, 2 или 3.
(Если бы число было трёхзначным, то третья цифра — это единственная, но условия не запрещают и четырехзначные, нужно проверить это в процессе.)
Шаг 3. Условие о цифрах (пункты 3 и 4)
Третья цифра (= C) на 3 больше второй (= B):
\[ C = B + 3 \]Четвёртая цифра (= D) на 3 больше третьей (= C):
\[ D = C + 3 \]Следовательно,
\[ D = B + 3 + 3 = B + 6 \]
Поскольку цифры — цифры в диапазоне 0–9:
- \( B \) — должна быть такова, чтобы \( C = B + 3 \leq 9 \),
- \( D = B + 6 \leq 9 \).
Это даёт ограничения на \( B \): \[ B + 6 \leq 9 \implies B \leq 3 \] и \[ B + 3 \leq 9 \implies B \leq 6 \] но более строго — \( B \leq 3 \) (так как \( D = B + 6 \), и D не может быть больше 9).
Также \( B \geq 0 \), потому что цифра не может быть отрицательной.
Итак: \[ 0 \leq B \leq 3 \]
Шаг 4. Рассмотрим возможные значения \( B \)
| B | C = B + 3 | D = B + 6 |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 6 |
| 1 | 4 | 7 |
| 2 | 5 | 8 |
| 3 | 6 | 9 |
Шаг 5. Проверка делимости на 18
Для делимости на 18:
- число делится на 2, значит D — чётная цифра.
Из таблицы:
- При \( B=0 \), D=6 (чётная) — подходит.
- При \( B=1 \), D=7 (нечётная) — не подходит.
- При \( B=2 \), D=8 (чётная) — подходит.
- При \( B=3 \), D=9 (нечётная) — не подходит.
Итак, возможные варианты — при \( B=0 \) и \( B=2 \).
Шаг 6. Проверка делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Цифры: \[ A, B, C, D \] где \( C = B+3 \), \( D = B+6 \).
Сумма: \[ A + B + C + D = A + B + (B+3) + (B+6) = A + 3B + 9 \] (так как \(3 + 6 = 9\)).
Условие: \[ A + 3B + 9 \text{ делится на } 9 \] или \[ A + 3B \text{ делится на } 9 \] (так как 9 — делитель, можно убрать +9).
Шаг 7. Анализ вариантов
Вариант 1: \( B=0 \)
Тогда:
\[ A + 3 \times 0 = A \]
Условие: \(A\) делится на 9.
А — цифра от 1 до 3 (так как число меньше 4000, и первая цифра не может быть 0).
Значит, \(A\) может быть только 1, 2 или 3.
Проверим, делятся ли они на 9?
Нет, только 9 делится на 9, но \(A\) — максимум 3. Нет подходящего варианта, число не делится на 9 в этой ситуации.
Вариант 2: \( B=2 \)
Тогда:
\[ A + 3 \times 2 = A + 6 \] должно делиться на 9, и \(A\) — 1, 2 или 3.
Проверим:
- \(A + 6 = 9\) или 18 или другое кратное 9.
Поскольку \(A \leq 3\):
- \(A + 6 = 9 \implies A=3\),
- \(A + 6= 18 \implies A=12\) — невозможно, так как \(A\) — цифра.
Следовательно, только \(A=3\).
ИТОГ:
- \(A=3\),
- \(B=2\),
- \(C=B+3=5\),
- \(D=B+6=8\).
Шаг 8. Проверка полученного числа
Полученное число: 3528
Проверим все условия:
Делится на 18?
- Делится на 2? Последняя цифра — 8, да.
- Делится на 9? Сумма цифр: \(3 + 5 + 2 + 8 = 18\), делится на 9, да.
Меньше 4000?
- 3528 — да, меньше 4000.
Третья цифра (C=5) на 3 больше второй (B=2)?
- 5 - 2 = 3 — да.
Четвёртая цифра (D=8) на 3 больше третьей (5)?
- 8 - 5 = 3 — да.
Все условия выполнены.
Ответ:
Число — 3528.
Если нужно более компактное решение или объяснения — готов помочь!
