Решить

Рассмотрим задачу: нужно найти значение выражения \(\sqrt{74^4 \cdot 3^2}\).

Шаг 1. Распишем выражение внутри корня: \[ \sqrt{74^4 \cdot 3^2} \]

Шаг 2. Можно упростить подкоренное выражение, используя свойства корня и степеней.

Значение \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\).

Таким образом: \[ \sqrt{74^4 \cdot 3^2} = \sqrt{74^4} \cdot \sqrt{3^2} \]

Шаг 3. Найдём каждую часть отдельно:

• \(\sqrt{74^4}\). Так как \(\sqrt{a^2} = a\), то

\[ \sqrt{74^4} = 74^{4/2} = 74^2 \]

• \(\sqrt{3^2} = 3\)

Шаг 4. Подставим полученные значения: \[ 74^2 \times 3 \]

Шаг 5. Вычислим \(74^2\): \[ 74^2 = 74 \times 74 \]

• 74 × 74: \[ 74 \times 74 = (70 + 4) \times (70 + 4) = 70 \times 70 + 2 \times 70 \times 4 + 4 \times 4 \]

  \[ = 4900 + 560 + 16 = 5472 \]

Шаг 6. Теперь умножим 5472 на 3: \[ 5472 \times 3 = 16416 \]

Ответ: \[ \boxed{16416} \]

Это и есть значение выражения \(\sqrt{74^4 \cdot 3^2}\).