найти производную функции y= 4x^3+2cosx-2/√x

Давайте найдем производную функции \( y = 4x^3 + 2\cos x - \frac{2}{\sqrt{x}} \).

Общий план решения:

1. Разобьём функцию на части, чтобы было удобно находить производную каждой.
2. Найдём производную каждой части по отдельности.
3. Объединим полученные результаты.

Шаг 1: Запишем функцию

\[ y = 4x^3 + 2\cos x - \frac{2}{\sqrt{x}} \]

Выразим третью часть с более удобным видом: \[ \frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-\frac{1}{2}} \]

Теперь функция выглядит так: \[ y = 4x^3 + 2\cos x - 2x^{-\frac{1}{2}} \]

Шаг 2: Найдём производную каждой части

• Производная \( 4x^3 \):
  Используем правило степени:
  \[ \frac{d}{dx} (ax^n) = a n x^{n-1} \]
  Здесь \(a=4\), \(n=3\). Получаем:
  \[ \frac{d}{dx} 4x^3 = 4 \times 3 x^{3-1} = 12x^2 \]

• Производная \( 2 \cos x \):
  Используем производную косинуса:
  \[ \frac{d}{dx} \cos x = - \sin x \]
  Значит:
  \[ \frac{d}{dx} 2 \cos x = 2 \times (- \sin x) = -2 \sin x \]

• Производная \( -2 x^{-\frac{1}{2}} \):
  Используем правило для степенной функции:
  \[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \]
  Здесь \(n = -\frac{1}{2}\). Получаем:
  \[ \frac{d}{dx} (-2 x^{-\frac{1}{2}}) = -2 \times \left(- \frac{1}{2}\right) x^{-\frac{1}{2} - 1} = -2 \times \left(- \frac{1}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}} \]

Упростим:
\[ -2 \times \left(- \frac{1}{2}\right) = 1 \]

И получается:
\[ x^{-\frac{3}{2}} \]

Шаг 3: Итоговая производная

Объединяем все части:
\[ \frac{dy}{dx} = 12x^2 - 2 \sin x + x^{-\frac{3}{2}} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 12x^2 - 2 \sin x + x^{-\frac{3}{2}} } \]

Если есть вопросы по шагам или нужно подробнее разобрать какую-то часть — скажи!