Конечно! Рассмотрим задачу: найти производную функции ( y = (5x + 3)^4 ). Так как целью является понять, я объясню всё подробно и пошагово.
Шаг 1: Внимательное чтение функции
Функция — это композиция: внутренняя функция ( u = 5x + 3 ) и внешняя — возведение в четвертую степень ( y = u^4 ).
Шаг 2: Использование цепного правила
Здесь нам поможет цепное правило, которое говорит, что производная сложной функции равна:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}
]
Где:
- (\frac{dy}{du}) — производная внешней функции по внутренней,
- (\frac{du}{dx}) — производная внутренней функции по (x).
Шаг 3: Найдите (\frac{dy}{du})
Функция ( y = u^4 ),
по правилу дифференцирования степенной функции:
[
\frac{dy}{du} = 4u^3
]
Шаг 4: Найдите (\frac{du}{dx})
Функция ( u = 5x + 3 ),
прямая линейная, производная:
[
\frac{du}{dx} = 5
]
Шаг 5: Соберите результат
Теперь по цепному правилу:
[
\frac{dy}{dx} = 4u^3 \times 5 = 20u^3
]
Подставим обратно ( u = 5x + 3 ):
[
\boxed{
\frac{dy}{dx} = 20 (5x + 3)^3
}
]
Итог:
Производная функции ( y = (5x + 3)^4 ) равна:
[
\boxed{
\frac{dy}{dx} = 20 (5x + 3)^3
}
]
Если что-то неясно, спрашивайте!
