найти производную функции y=(5x+3)^4
Конечно! Рассмотрим задачу: найти производную функции \( y = (5x + 3)^4 \). Так как целью является понять, я объясню всё подробно и пошагово.
Шаг 1: Внимательное чтение функции
Функция — это композиция: внутренняя функция \( u = 5x + 3 \) и внешняя — возведение в четвертую степень \( y = u^4 \).
Шаг 2: Использование цепного правила
Здесь нам поможет цепное правило, которое говорит, что производная сложной функции равна:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]
Где:
- \(\frac{dy}{du}\) — производная внешней функции по внутренней,
- \(\frac{du}{dx}\) — производная внутренней функции по \(x\).
Шаг 3: Найдите \(\frac{dy}{du}\)
Функция \( y = u^4 \), по правилу дифференцирования степенной функции:
\[ \frac{dy}{du} = 4u^3 \]
Шаг 4: Найдите \(\frac{du}{dx}\)
Функция \( u = 5x + 3 \), прямая линейная, производная:
\[ \frac{du}{dx} = 5 \]
Шаг 5: Соберите результат
Теперь по цепному правилу:
\[ \frac{dy}{dx} = 4u^3 \times 5 = 20u^3 \]
Подставим обратно \( u = 5x + 3 \):
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 20 (5x + 3)^3 } \]
Итог:
Производная функции \( y = (5x + 3)^4 \) равна:
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 20 (5x + 3)^3 } \]
Если что-то неясно, спрашивайте!
