Решите уравнение (х-7)^4=(х-8)^4

Давайте решим уравнение \((x - 7)^4 = (x - 8)^4\). ### Шаг 1: Анализ уравнения Уравнение равноицно двум выражениям с одинаковой степенью четверти. Для начала заметим, что степень 4 — чётная, поэтому, чтобы равенство соблюдалось, очевидные случаи — когда модули выражений равны, или когда оба выражения равны нулю. ### Шаг 1: Рассмотрим ситуации - **Случай 1:** \((x - 7)^4 = (x - 8)^4\) Можем взять корень четвертой степени с обеих сторон, учитывая, что четвертая степень неможет быть отрицательной, но при этом необходимо помнить о знаке внутри выражения. Для равенства \(a^4 = b^4\) происходит, если либо: - \(a = b\), или - \(a = -b\). ### Шаг 2: Запишем два варианта Пусть \(a = x - 7\), а \(b = x - 8\): 1. \(x - 7 = x - 8\) 2. \(x - 7 = -(x - 8)\) ### Шаг 3: Решим каждое уравнение отдельно #### Уравнение 1: \[ x - 7 = x - 8 \] Вычитаем \(x\) из обеих частей: \[ -7 = -8 \] Это неверно. Значит, решений для этого варианта нет. #### Уравнение 2: \[ x - 7 = -(x - 8) \] Раскроем скобки: \[ x - 7 = -x + 8 \] Перенесем все \(x\) в левую сторону, а числа — в правую: \[ x + x = 8 + 7 \] \[ 2x = 15 \] Найдем \(x\): \[ x = \frac{15}{2} = 7.5 \] ### Итог: решение уравнения — это \(x = 7.5\). --- ### Проверка Подставим \(x=7.5\) обратно в исходное уравнение: \[ (7.5 - 7)^4 = (7.5 - 8)^4 \] \[ (0.5)^4 = (-0.5)^4 \] \[ 0.5^4 = 0.5^4 \] \[ 0.0625 = 0.0625 \] Верно. Значит, \(x = 7.5\) — решение уравнения. --- ## Итоговое решение: \[ \boxed{ x = \frac{15}{2} \quad \text{или} \quad x = 7.5 } \]