решите уравнение (х-7)^4=(х-8)^4
Давайте решим уравнение \((x - 7)^4 = (x - 8)^4\).
Шаг 1: Анализ уравнения
Уравнение равноицно двум выражениям с одинаковой степенью четверти. Для начала заметим, что степень 4 — чётная, поэтому, чтобы равенство соблюдалось, очевидные случаи — когда модули выражений равны, или когда оба выражения равны нулю.
Шаг 1: Рассмотрим ситуации
- Случай 1: \((x - 7)^4 = (x - 8)^4\)
Можем взять корень четвертой степени с обеих сторон, учитывая, что четвертая степень неможет быть отрицательной, но при этом необходимо помнить о знаке внутри выражения.
Для равенства \(a^4 = b^4\) происходит, если либо:
- \(a = b\), или
- \(a = -b\).
Шаг 2: Запишем два варианта
Пусть \(a = x - 7\), а \(b = x - 8\):
- \(x - 7 = x - 8\)
- \(x - 7 = -(x - 8)\)
Шаг 3: Решим каждое уравнение отдельно
Уравнение 1:
\[ x - 7 = x - 8 \]
Вычитаем \(x\) из обеих частей: \[ -7 = -8 \]
Это неверно. Значит, решений для этого варианта нет.
Уравнение 2:
\[ x - 7 = -(x - 8) \]
Раскроем скобки: \[ x - 7 = -x + 8 \]
Перенесем все \(x\) в левую сторону, а числа — в правую: \[ x + x = 8 + 7 \] \[ 2x = 15 \]
Найдем \(x\): \[ x = \frac{15}{2} = 7.5 \]
Итог: решение уравнения — это \(x = 7.5\).
Проверка
Подставим \(x=7.5\) обратно в исходное уравнение:
\[ (7.5 - 7)^4 = (7.5 - 8)^4 \] \[ (0.5)^4 = (-0.5)^4 \] \[ 0.5^4 = 0.5^4 \] \[ 0.0625 = 0.0625 \]
Верно. Значит, \(x = 7.5\) — решение уравнения.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x = \frac{15}{2} \quad \text{или} \quad x = 7.5 } \]
