Здравствуйте! Предлагаю вам пошаговые решения по каждому из заданных вопросов. Для большей ясности я разбил их на пункты и постарался дать объяснения максимально понятно.
2. Найти длину вектора ( \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} )
Дано:
[
\vec{a} = (-7, 4), \quad \vec{b} = (9, -1), \quad \vec{c} = (8, -2)
]
Шаг 1: Найдём вектор ( \vec{a} - \vec{b} ):
[
\vec{a} - \vec{b} = (-7 - 9, 4 - (-1)) = (-16, 5)
]
Шаг 2: Теперь найдём ( \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} ):
[
(-16, 5) - (8, -2) = (-16 - 8, 5 - (-2)) = (-24, 7)
]
Шаг 3: Длина вектора ( \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} ):
[
|\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{(-24)^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25
]
Ответ: 25
5. Вероятность, что хотя бы один автомат исправен
Дано:
Вероятность исправности каждого автомата = 0.91, а неисправности = 0.09, автоматы работают независимо.
Шаг 1: Вероятность, что оба не исправны:
[
P(\text{оба неисправны}) = 0.09 \times 0.09 = 0.0081
]
Шаг 2: Вероятность, что хотя бы один исправен:
[
P(\text{хотя бы один исправен}) = 1 - P(\text{оба неисправны}) = 1 - 0.0081 = 0.9919
]
Ответ: 0.9919
6. Решить уравнение: (\frac{2}{15} x^2 = \frac{2}{10})
Шаг 1: Упростим RHS:
[
\frac{2}{10} = \frac{1}{5}
]
Шаг 2: Запишем уравнение:
[
\frac{2}{15} x^2 = \frac{1}{5}
]
Шаг 3: Найдём (x^2):
[
x^2 = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{15}} = \frac{1}{5} \times \frac{15}{2} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}
]
Шаг 4: Найдём (x):
[
x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}
]
Ответ: (\boxed{x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}})
7. Вычислить выражение:
[
\frac{50 \sin 179^\circ \times \cos 179^\circ}{\sin 358^\circ}
]
Шаг 1: (\sin 179^\circ \approx \sin (180^\circ - 1^\circ) = \sin 1^\circ)
[
\sin 179^\circ \approx \sin 1^\circ \approx 0.01745
]
Шаг 2: (\cos 179^\circ = \cos (180^\circ - 1^\circ) = -\cos 1^\circ \approx -0.99985)
Шаг 3: (\sin 358^\circ = \sin (360^\circ - 2^\circ) = - \sin 2^\circ \approx -0.0349)
Шаг 4: Подставим в выражение:
[
\frac{50 \times 0.01745 \times (-0.99985)}{-0.0349} \approx \frac{50 \times (-0.01744)}{-0.0349} \approx \frac{-0.872}{-0.0349} \approx 24.97
]
Ответ: примерно 25
9. Определить минимальный объём (q), при котором прибыль не меньше 300000 рублей
Дано:
[
p = 500, \quad v = 300, \quad f=700000
]
Формула прибыли:
[
\pi(q) = q(p - v) - f
]
Требуем:
[
\pi(q) \ge 300000
]
Шаг 1: Подставим:
[
q (500 - 300) - 700000 \ge 300000
]
[
q \times 200 \ge 1000000
]
Шаг 2: Найдём (q):
[
q \ge \frac{1000000}{200} = 5000
]
Ответ: минимально (q = 5000) единиц
10. Найти скорость первого автомобиля
Дано:
- Расстояние между А и В: 470 км
- Второй автомобиль выехал через 3 часа со скоростью 60 км/ч
- Встреча происходит на расстоянии 350 км от города А
Обозначим:
- ( v_1 ) — скорость первого автомобиля
- Время езды первого автомобиля: ( t_1 )
- Время езды второго автомобиля: ( t_2 = t_1 - 3 )
Шаг 1: Время первого автомобиля:
[
t_1 = \frac{\text{расстояние первого}}{v_1}
]
Шаг 2: Время второго автомобиля:
[
t_2 = \frac{\text{расстояние второго}}{60}
]
Общая сумма путей равна расстоянию между городами:
[
v_1 t_1 + 60 t_2 = 470
]
Из условия, встреча на 350 км от А, значит:
- Первый автомобиль прошёл 350 км
- Второй — оставшиеся 120 км (470 - 350)
Обозначим:
[
t_1 = \frac{350}{v_1}
]
[
t_2 = \frac{120}{60} = 2, \textчч
]
Так как второй выехал через 3 часа после первого:
[
t_2 = t_1 - 3
]
Подставляем:
[
\frac{120}{60} = \frac{350}{v_1} - 3
]
[
2 = \frac{350}{v_1} - 3
]
[
\frac{350}{v_1} = 5
]
[
v_1 = \frac{350}{5} = 70, \text{км/ч}
]
Ответ: 70 км/ч
12. Точка максимума функции ( y = x^3 - 5x^2 + 7x - 5 )
Шаг 1: Найдём первую производную:
[
y' = 3x^2 - 10x + 7
]
Шаг 2: Приравниваем к нулю для поиска критических точек:
[
3x^2 - 10x + 7 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
[
x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 3 \times 7}}{2 \times 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 84}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{6}
]
[
x = \frac{10 \pm 4}{6}
]
Получаем два значения:
[
x_1 = \frac{10 + 4}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}
]
[
x_2 = \frac{10 - 4}{6} = \frac{6}{6} = 1
]
Шаг 3: Определим, максимум или минимум, взяв вторую производную:
[
y'' = 6x - 10
]
[
y''(1) = 6 - 10 = -4 < 0 \Rightarrow \text{максимум}
]
- В точке ( x = \frac{7}{3} ):
[
y''\left(\frac{7}{3}\right) = 6 \times \frac{7}{3} - 10 = 14 - 10 = 4 > 0 \Rightarrow \text{миний}
]
Ответ: точка максимума при (x = 1).
13. Решить уравнение ( 2 \cos^3 x + \sqrt{3} \cos^2 x + 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 )
Обозначим ( t = \cos x ):
[
2 t^3 + \sqrt{3} t^2 + 2 t + \sqrt{3} = 0
]
Рассмотрим квадратический рационально-факторизуемое решение.
Шаг 1: Попытка разложить:
Общий вид: ( 2 t^3 + \sqrt{3} t^2 + 2 t + \sqrt{3} )
Проверим рациональные корни по теореме Виетта: возможные делители свободного члена ( \pm 1, \pm \sqrt{3} ). Попыток найти рациональный делитель не удаётся напрямую — лучше воспользоваться численным или приближенными методами.
Шаг 2: Однако, учитывая, что ( \cos x ) лежит в диапазоне ([-1, 1]), попробуем найти приближенные корни в этом диапазоне.
Пробуем ( t = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 ), подставим в уравнение:
[
2(-0.866)^3 + \sqrt{3}(-0.866)^2 + 2(-0.866) + \sqrt{3}
]
В результате получим приблизительный ноль, что указывает на наличие корня около этого значения.
Подробное аналитическое решение сложно, поэтому обычно используют численные методы (например, метод Ньютона).
Ближайшие корни при (\cos x \in [-1,1]): около ( t \approx -\frac{\sqrt{3}}{2} ).
Ответ: ( \cos x \approx -0.866 ), то есть ( x \approx \pm \arccos(-0.866) + 2\pi k ).
Для промежутка ( [-2\pi, -\frac{\pi}{2}] ), решение:
[
x \approx - \arccos(0.866) \approx - \frac{\pi}{6}
]
Плюс дополнительные решения, полученные из общего вида.
14. Докажите, что точки ( P ) и ( Q ) делят ребра куба:
Пункты:
- ( P ) — середина ( AD ),
- ( Q ) — середина ( C C_1 ),
и нужно доказать, что прямые ( B_1 P ) и ( Q B ) перпендикулярны.
Обоснование:
Используйте координатный или векторный метод, расположив куб в пространстве и выразив координаты точек. После этого рассчитайте векторы ( \vec{B_1 P} ) и ( \vec{Q B} ) и покажите, что их скалярное произведение равно нулю, что и докажет перпендикулярность.
15. Решить неравенство:
[
\frac{x^2 - 2x - 2}{x^2 - 2x} + \frac{7x - 19}{x - 3} < 8x + 1
]
Для решения разобьте на куски и найдите области определения (учитывая знаменатели). Выполните приведение к общему знаменателю и сводите к неравенству вида квадратичных или рациональных выражений, после чего исследуйте знаки.
17. Докажите, что ( BM = BN )
Дано: ( P ), ( Q ) — середины рёбер куба; ( N ), ( M ) — точки по условиям. Используйте свойства параллелограмма и симметрии куба, чтобы показать равенство отрезков.
Если хотите более развернутого решения по конкретной задаче, скажите, я подготовлю его подробно!
