реши
Давайте разберем задачу пошагово.
Дано:
- \( AK = 12 \sqrt{3} \) дм
- \( \angle OAK = 30^\circ \)
Нам нужно найти радиус окружности \( OK \).
Шаг 1: Понимание рисунка
- \( O \) — центр окружности
- \( K \) — точка на окружности, радиус \( OK \) (это искомое)
- \( A \) — точка, на которую падает касательная к окружности
- \( \angle OAK = 30^\circ \), \( AK \) — длина касательной от точки \( A \) до точки касания \( K \)
Следует заметить, что:
- \( OK \) — радиус
- \( AK \) — касательная, проведенная из точки \( A \), касающаяся окружности в точке \( K \)
Шаг 2: Свойства касательной
Из точки, находящейся вне окружности, касательная к окружности имеет длину \( AK = 12 \sqrt{3} \) дм.
Также, касательная и радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярны, то есть \( \angle KAO = 90^\circ \).
Шаг 3: Используем треугольник \( \triangle OAK \)
- \( OK \) — радиус, нужен
- \( AK = 12 \sqrt{3} \) дм (касательная)
- \( \angle OAK = 30^\circ \)
В треугольнике \( \triangle OAK \) есть угол \( \angle OAK = 30^\circ \), и мы знаем сторону, прилежащую к этому углу — \( AO \). Но для этого лучше использовать свойства тригонометрии.
Шаг 4: Связь между сторонами
Поскольку касательная \( AK \) и радиус \( OK \) образуют прямой угол в точке касания \( K \), то треугольник \( \triangle OAK \) является прямоугольным.
Рассмотрим треугольник \( \triangle OAK \):
- гипотенуза — \( AO \) (расстояние от точки \( A \) до центра \( O \))
- катет — \( OK \) (радиус, который мы ищем)
- угол при \( A \) — \( 30^\circ \)
Используя тригонометрию в этом треугольнике: \[ \cos 30^\circ = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{OK}{AO} \]
Но нам нужно найти \( OK \), и мы знаем \( AK \).
Шаг 5: Связь между касательной, радиусом и уголем
Поскольку касательная из точки \( A \) касается окружности в точке \( K \):
- \( AK \) — касательная, длина которой задана (\( 12 \sqrt{3} \))
- В треугольнике \( \triangle AOK \):
- \( AK \) — касательная
- \( OK \) — радиус
- \( \angle OAK \) — 30°
В треугольнике \( AOK \):
- Угол при \( A \): \( 30^\circ \)
- В этот момент, лежит на круге, и \( AK \) — касательная.
Так как касательная и радиус в точке касания образуют прямой угол, то \( \angle KAO = 90^\circ \).
Шаг 6: Вычисление радиуса \( OK \)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOK \):
Поскольку \( \angle KAO = 90^\circ \), то: \[ AK = AO \cdot \tan 30^\circ \]
- \( AK = 12 \sqrt{3} \) дм
- \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Тогда: \[ AK = AO \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ AO = AK \cdot \sqrt{3} \] \[ AO = 12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 12 \times 3 = 36 \text{ дм} \]
Это расстояние от точки \( A \) до центра \( O \).
Шаг 7: Связь между \( AO \) и радиусом \( OK \)
Так как \( AK \) — касательная, и \( OK \) — радиус, проведённый к точке касания, то \( OK \) — радиус круга.
В треугольнике \( \triangle OAK \), где угол \( \angle O = 90^\circ \), сторона \( OK \) (радиус), противоположна углу \( 30^\circ \), а \( AO \) — гипотенуза.
Используем отношение: \[ OK = AO \cdot \sin 30^\circ \]
Значения: \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
Подставляем: \[ OK = 36 \times \frac{1}{2} = 18 \text{ дм} \]
Ответ:
Радиус окружности \( OK = 18 \) дм.
Если есть вопросы или нужно дополнительно что-то объяснить — пишите!
