Реши

Давайте разберем задачу пошагово. **Дано:** - \( AK = 12 \sqrt{3} \) дм - \( \angle OAK = 30^\circ \) Нам нужно найти радиус окружности \( OK \). --- ### Шаг 1: Понимание рисунка - \( O \) — центр окружности - \( K \) — точка на окружности, радиус \( OK \) (это искомое) - \( A \) — точка, на которую падает касательная к окружности - \( \angle OAK = 30^\circ \), \( AK \) — длина касательной от точки \( A \) до точки касания \( K \) Следует заметить, что: - \( OK \) — радиус - \( AK \) — касательная, проведенная из точки \( A \), касающаяся окружности в точке \( K \) ### Шаг 2: Свойства касательной Из точки, находящейся вне окружности, касательная к окружности имеет длину \( AK = 12 \sqrt{3} \) дм. Также, касательная и радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярны, то есть \( \angle KAO = 90^\circ \). ### Шаг 3: Используем треугольник \( \triangle OAK \) - \( OK \) — радиус, нужен - \( AK = 12 \sqrt{3} \) дм (касательная) - \( \angle OAK = 30^\circ \) В треугольнике \( \triangle OAK \) есть угол \( \angle OAK = 30^\circ \), и мы знаем сторону, прилежащую к этому углу — \( AO \). Но для этого лучше использовать свойства тригонометрии. --- ### Шаг 4: Связь между сторонами Поскольку касательная \( AK \) и радиус \( OK \) образуют прямой угол в точке касания \( K \), то треугольник \( \triangle OAK \) является прямоугольным. Рассмотрим треугольник \( \triangle OAK \): - гипотенуза — \( AO \) (расстояние от точки \( A \) до центра \( O \)) - катет — \( OK \) (радиус, который мы ищем) - угол при \( A \) — \( 30^\circ \) Используя тригонометрию в этом треугольнике: \[ \cos 30^\circ = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{OK}{AO} \] Но нам нужно найти \( OK \), и мы знаем \( AK \). ### Шаг 5: Связь между касательной, радиусом и уголем Поскольку касательная из точки \( A \) касается окружности в точке \( K \): - \( AK \) — касательная, длина которой задана (\( 12 \sqrt{3} \)) - В треугольнике \( \triangle AOK \): - \( AK \) — касательная - \( OK \) — радиус - \( \angle OAK \) — 30° В треугольнике \( AOK \): - Угол при \( A \): \( 30^\circ \) - В этот момент, лежит на круге, и \( AK \) — касательная. Так как касательная и радиус в точке касания образуют прямой угол, то \( \angle KAO = 90^\circ \). ### Шаг 6: Вычисление радиуса \( OK \) Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOK \): Поскольку \( \angle KAO = 90^\circ \), то: \[ AK = AO \cdot \tan 30^\circ \] - \( AK = 12 \sqrt{3} \) дм - \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Тогда: \[ AK = AO \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ AO = AK \cdot \sqrt{3} \] \[ AO = 12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 12 \times 3 = 36 \text{ дм} \] Это расстояние от точки \( A \) до центра \( O \). --- ### Шаг 7: Связь между \( AO \) и радиусом \( OK \) Так как \( AK \) — касательная, и \( OK \) — радиус, проведённый к точке касания, то \( OK \) — радиус круга. В треугольнике \( \triangle OAK \), где угол \( \angle O = 90^\circ \), сторона \( OK \) (радиус), противоположна углу \( 30^\circ \), а \( AO \) — гипотенуза. Используем отношение: \[ OK = AO \cdot \sin 30^\circ \] Значения: \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Подставляем: \[ OK = 36 \times \frac{1}{2} = 18 \text{ дм} \] --- ### **Ответ:** **Радиус окружности \( OK = 18 \) дм.** Если есть вопросы или нужно дополнительно что-то объяснить — пишите!