Реши уравнение 4х^2+2х+7=0

Давайте решим уравнение \( 4x^2 + 2x + 7 = 0 \) с подробными объяснениями.

Шаг 1. Определим коэффициенты уравнения:

• A = 4
• B = 2
• C = 7

Это квадратное уравнение в виде \( Ax^2 + Bx + C = 0 \).

Шаг 2. Используем формулу дискриминанта D: \[ D = B^2 - 4AC \] Подставим значения: \[ D = (2)^2 - 4 \times 4 \times 7 = 4 - 112 = -108 \]

Шаг 3. Анализируем дискриминант: Так как \( D = -108 < 0 \), у уравнения нет действительных решений, а есть два комплексных.

Шаг 4. Находим корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \] Поскольку дискриминант отрицательный, возьмем корень из D как комплексное число: \[ \sqrt{D} = \sqrt{-108} = \sqrt{108} \times i \] Рассчитаем \(\sqrt{108}\). Заметим, что: \[ 108 = 36 \times 3, \] следовательно, \[ \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \] Тогда: \[ \sqrt{D} = 6\sqrt{3} \, i \]

Шаг 5. Запишем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{3} i}{2 \times 4} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{3} i}{8} \]

Упростим дробь: \[ x_{1,2} = \frac{-2}{8} \pm \frac{6\sqrt{3} i}{8} = -\frac{1}{4} \pm \frac{3\sqrt{3} i}{4} \]

Ответ: \[ x_1 = -\frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{3} i}{4} \] \[ x_2 = -\frac{1}{4} - \frac{3\sqrt{3} i}{4} \]

Это комплексные корни уравнения.

Если нужно, я могу помочь понять, почему дискриминант такой, или разобраться с другими типами уравнений!