Давайте решим уравнение ( 4x^2 + 2x + 7 = 0 ) с подробными объяснениями.
Шаг 1. Определим коэффициенты уравнения:
Это квадратное уравнение в виде ( Ax^2 + Bx + C = 0 ).
Шаг 2. Используем формулу дискриминанта D:
[
D = B^2 - 4AC
]
Подставим значения:
[
D = (2)^2 - 4 \times 4 \times 7 = 4 - 112 = -108
]
Шаг 3. Анализируем дискриминант:
Так как ( D = -108 < 0 ), у уравнения нет действительных решений, а есть два комплексных.
Шаг 4. Находим корни по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}
]
Поскольку дискриминант отрицательный, возьмем корень из D как комплексное число:
[
\sqrt{D} = \sqrt{-108} = \sqrt{108} \times i
]
Рассчитаем (\sqrt{108}). Заметим, что:
[
108 = 36 \times 3,
]
следовательно,
[
\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}
]
Тогда:
[
\sqrt{D} = 6\sqrt{3} , i
]
Шаг 5. Запишем корни:
[
x_{1,2} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{3} i}{2 \times 4} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{3} i}{8}
]
Упростим дробь:
[
x_{1,2} = \frac{-2}{8} \pm \frac{6\sqrt{3} i}{8} = -\frac{1}{4} \pm \frac{3\sqrt{3} i}{4}
]
Ответ:
[
x_1 = -\frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{3} i}{4}
]
[
x_2 = -\frac{1}{4} - \frac{3\sqrt{3} i}{4}
]
Это комплексные корни уравнения.
Если нужно, я могу помочь понять, почему дискриминант такой, или разобраться с другими типами уравнений!
