В равнобедренном треугольнике ABC c основанием AC проведена медиана BM, равная 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если угол MBC равен 45° .

Давайте решим задачу пошагово и подробно. **Дано:** - В равнобедренном треугольнике \( ABC \) основание — сторона \( AC \). - Медиана \( BM \), проведённая из вершины \( B \) к основанию \( AC \), равна 8 см. - Угол \( MBC = 45^\circ \). Нам нужно найти площадь треугольника \( ABC \). --- ### Шаг 1. Что означают данные - Треугольник \( ABC \) равнобедренный относительно основания \( AC \), значит: \( AB = BC \). - Медиана \( BM \) делит основание \( AC \) пополам, т.к. \( M \) — середина \( AC \). То есть, \( AM = MC = \frac{AC}{2} \). --- ### Шаг 2. Обозначения и построение схемы Обозначим: - \( M \) — середина \( AC \). - \( BM = 8 \) см. - Угол \( MBC = 45^\circ \). На схеме: - Точка \( M \) на основании \( AC \). - \( B \) — вершина, из которой проведена медиана \( BM \). Показываем взаиморасположение: - Медиана \( BM \) идёт к середине \( M \). - Угол \( MBC \) образован сторонами \( BC \) и \( CM \). --- ### Шаг 3. Свойства треугольника и построение связей - Так как \( \angle MBC = 45^\circ \), и \( M \) лежит на отрезке \( AC \), то \( BC \) и \( CM \), как стороны, связаны этим углом. Нам нужно найти длину \( AC \), так как площадь \( ABC \) можно выразить через основание \( AC \) и высоту. --- ### Шаг 4. Анализ угла и стороны Рассмотрим треугольник \( BMC \): - В нем \( \angle MBC = 45^\circ \). - Внимание! Обычно угол \( MBC \) — это угол между сторонами \( BC \) и \( BM \), то есть между стороной \( BC \) и медианой \( BM \). Поскольку \( M \) — середина \( AC \), то \( M \) лежит на основании, а \( B \) — вершина треугольника. --- ### Шаг 5. Геометрическая идея и расчет Рассмотрим треугольник \( BMC \): - \( BC \) — сторона, которую нужно выразить через \( BM \) и угол \( 45^\circ \). - \( M \) — середина \( AC \), а \( BM = 8 \). В пространстве бросим \( M \), чтобы понять взаимное расположение. --- ### Шаг 6. Использование тригонометрии Для более точных расчетов лучше всего выбрать координатную плоскость: - Пусть \( A \) и \( C \) лежат на оси \( x \): Пусть \( A = (0, 0) \), \( C = (a, 0) \), тогда \( M = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \). - \( B = (x_b, y_b) \). Поскольку \( BM = 8 \), и \( M = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \), то: \[ |BM| = \sqrt{\left(x_b - \frac{a}{2}\right)^2 + y_b^2} = 8. \] --- ### Шаг 7. Используем угол \( MBC = 45^\circ \) - В треугольнике \( BMC \): \[ \cos 45^\circ = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}. \] Стороны: - \( BC = \sqrt{(x_b - a)^2 + y_b^2} \), - \( CM = \frac{a}{2} \), - Угол \( MBC = 45^\circ \), образованный между векторами \( \vec{BC} \) и \( \vec{BM} \). Векторы: - \( \vec{BM} = \left(\frac{a}{2} - x_b, - y_b \right) \), - \( \vec{BC} = (a - x_b, - y_b) \). Вычислим скалярное произведение: \[ \vec{BM} \cdot \vec{BC} = \left(\frac{a}{2} - x_b\right)(a - x_b) + y_b^2, \] но более удобно использовать формулу для угла между векторами: \[ \cos 45^\circ = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BM}| |\vec{BC}|}. \] --- ### Шаг 8. Выражение и решение Подставим величины: - \( |\vec{BM}| = 8 \), - \( |\vec{BC}| = \sqrt{(a - x_b)^2 + y_b^2} \). Анализ показывает, что, учитывая симметрию в равнобедренном треугольнике, — можно выбрать \( B \) так, чтобы \( B \) находился прямо над серединой основания при соответствующем расположении. Это значительно упрощает задачу. Тогда: - \( B = \left(\frac{a}{2}, h\right) \), - \( M = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \). В таком случае: \[ BM = h = 8. \] - Вектор \( \vec{BM} = (0, -h) \). - Вектор \( \vec{BC} = \left(a - \frac{a}{2}, 0 - h\right) = \left(\frac{a}{2}, -h\right) \). Скалярное произведение: \[ \vec{BM} \cdot \vec{BC} = 0 \times \frac{a}{2} + (-h)(-h) = h^2 = 64. \] Модуль \( \vec{BC} \): \[ |\vec{BC}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + 64}. \] Итак, \[ \cos 45^\circ = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BM}| |\vec{BC}|} = \frac{64}{8 \times \sqrt{\frac{a^2}{4} + 64}}. \] Подставим \( |\vec{BM}| = 8 \): \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{64}{8 \times \sqrt{\frac{a^2}{4} + 64}}. \] Упростим: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{64}{8 \sqrt{\frac{a^2}{4} + 64}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{\frac{a^2}{4} + 64}}. \] Перемножим обе части на знаменатель: \[ \sqrt{\frac{a^2}{4} + 64} = 8 \sqrt{2}. \] Теперь возьмем оба в квадрат: \[ \frac{a^2}{4} + 64 = (8 \sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128. \] Отнимем 64: \[ \frac{a^2}{4} = 128 - 64 = 64. \] Умножим обе части на 4: \[ a^2 = 256, \] значит, \[ a = 16. \] Это длина основания \( AC \). --- ### Шаг 9. Находим высоту \( B \) - \( B = \left( \frac{a}{2}, h \right) = (8, 8) \). - Тогда площадь треугольника \( ABC \): \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times \text{высота}. \] Основание \( AC = 16 \) см, а высота равна \( y_b = 8 \). --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь} \; ABC = \frac{1}{2} \times 16 \times 8 = 64 \text{ см}^2. } \] --- ## Итог: **Площадь треугольника \( ABC \) равна 64 квадратных сантиметра.**