В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 мест, а в шестом ряду 24 места. Сколько всего мест в амфитеатре?

Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап. **Дано:** - В амфитеатре 15 рядов. - В каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. - В третьем ряду 12 мест. - В шестом ряду 24 места. Обозначим: - \( a_1 \) — количество мест в первом ряду. - \( d \) — разность (насколько больше мест в каждом следующем ряду по сравнению с предыдущим). Тогда количество мест в \( n \)-ом ряду можно записать как арифметическую прогрессию: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] По условию: - В третьем ряду: \( a_3 = a_1 + 2d = 12 \) - В шестом ряду: \( a_6 = a_1 + 5d = 24 \) Теперь решим систему уравнений: 1) \( a_1 + 2d = 12 \) 2) \( a_1 + 5d = 24 \) Вычитаем уравнение (1) из (2): \[ (a_1 + 5d) - (a_1 + 2d) = 24 - 12 \] \[ a_1 + 5d - a_1 - 2d = 12 \] \[ 3d = 12 \] \[ d = 4 \] Подставим \( d = 4 \) в первое уравнение: \[ a_1 + 2 \times 4 = 12 \] \[ a_1 + 8 = 12 \] \[ a_1 = 4 \] Теперь мы знаем: - \( a_1 = 4 \) - \( d = 4 \) Количество мест в каждом ряду задается формулой: \[ a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1) \times 4 \] Для 15 рядов: \[ a_n = 4 + (n - 1) \times 4 \] Нам нужно найти сумму всех мест в 15 рядах: \[ S_{15} = a_1 + a_2 + \dots + a_{15} \] Или, используя формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_{n} = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Поскольку \( a_{15} = 4 + (15 - 1) \times 4 = 4 + 14 \times 4 = 4 + 56 = 60 \), подставим в формулу суммы: \[ S_{15} = \frac{15}{2} \times (4 + 60) = \frac{15}{2} \times 64 = 15 \times 32 = 480 \] **Итак, всего мест в амфитеатре: 480.** --- Если нужны дополнительные объяснения или есть другие вопросы — обращайтесь!