рабочий должен был за определённое время изготовить 72 детали. однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал и закончил работу на 3 дня раньше. срока, за…
Рабочий должен был за определённое время изготовить 72 детали. однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал и закончил работу на 3 дня раньше. срока, за сколько дней он закончит работу?подробное объяснение
Рассмотрим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Общее число деталей, которые нужно изготовить: 72.
- Рабочий изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, в каждый день.
- Он закончил работу на 3 дня раньше запланированного срока.
Нам нужно найти, за сколько дней он изначально планировал закончить работу (то есть, сколько дней было запланировано изначально), и на основании этого определить, за сколько дней он фактически завершил работу.
Шаг 1. Введение переменных
Обозначим:
- \( x \) — планируемое количество дней (то есть, сколько дней рабочий должен был работать по плану).
- \( d \) — число деталей, которое он планировал делать за один день (по плану).
- \( t \) — число деталей, которое он реально делал за один день (с учетом увеличения на 4 детали).
Поскольку он делал на 4 детали больше, чем по плану, то: \[ t = d + 4 \]
Шаг 2. Запишем условия по плану и факту
По плану:
- За \( x \) дней должно было быть изготовлено 72 детали:
\[ d \times x = 72 \] Значит, \[ d = \frac{72}{x} \]
Фактическая продолжительность работы (после сокращения на 3 дня), — это \( x - 3 \).
Фактически за эти \( x - 3 \) дня он изготовил 72 детали. Но каждый день он делал \( t = d + 4 \) деталей, итого:
\[ (t) \times (x - 3) = 72 \]
Подставим \( t = d + 4 \):
\[ (d + 4)(x - 3) = 72 \]
А мы знаем, что \( d = \frac{72}{x} \), подставим в это уравнение:
\[ \left( \frac{72}{x} + 4 \right)(x - 3) = 72 \]
Шаг 3. Решим уравнение
Раскроем скобки:
\[ \left( \frac{72}{x} + 4 \right)(x - 3) = 72 \]
Переформулируем:
\[ \left( \frac{72}{x} \right)(x - 3) + 4(x - 3) = 72 \]
Рассмотрим каждое слагаемое:
\(\left( \frac{72}{x} \right)(x - 3) = 72 \times \frac{x - 3}{x}\)
\(4(x - 3) = 4x - 12\)
Об целом:
\[ 72 \times \frac{x - 3}{x} + 4x - 12 = 72 \]
Шаг 4. Упростим уравнение
Запишем:
\[ \frac{72(x - 3)}{x} + 4x - 12 = 72 \]
Перенесем 72 в другую сторону:
\[ \frac{72(x - 3)}{x} + 4x - 12 - 72 = 0 \]
\[ \frac{72(x - 3)}{x} + 4x - 84 = 0 \]
Рассмотрим первую дробь более подробно:
\[ \frac{72(x - 3)}{x} = \frac{72x - 216}{x} = 72 - \frac{216}{x} \]
Подставим обратно:
\[ 72 - \frac{216}{x} + 4x - 84 = 0 \]
Объединим числовые слагаемые:
\[ (72 - 84) - \frac{216}{x} + 4x = 0 \]
\[ -12 - \frac{216}{x} + 4x = 0 \]
Перенесём все в левую часть:
\[ 4x - \frac{216}{x} = 12 \]
Шаг 5. Решение уравнения
Умножим обе части на \( x \), чтобы избавиться от дроби:
\[ 4x \times x - 216 = 12x \]
\[ 4x^2 - 216 = 12x \]
Перенесем всё в левую сторону:
\[ 4x^2 - 12x - 216 = 0 \]
Разделим всю формулу на 4 для упрощения:
\[ x^2 - 3x - 54 = 0 \]
Используем формулу квадратного равенства:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-54)}}{2} \]
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 15}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \( x = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( x = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)
Так как число дней не может быть отрицательным, отбрасываем \( x = -6 \).
Ответ:
Значит, по плану он должен был работать 9 дней.
Сколько реально он работал?
Он завершил работу на 3 дня раньше запланированного срока, т.е.:
\[ x - 3 = 9 - 3 = 6 \text{ дней} \]
Итак:
Рабочий по плану должен был закончить работу за 9 дней.
На практике он завершил работу за 6 дней.
Если потребуется более подробное объяснение, я могу помочь!
