Периметр прямоугольника равен 14 см а его диагональ равна 5 см найдите стороны прямоугольника

Рассмотрим задачу. Нам известно: - Периметр прямоугольника — 14 см - Диагональ — 5 см Требуется найти длины сторон прямоугольника. Обозначим: - одну сторону как \( a \), а другую — как \( b \). ### Шаг 1: Записать уравнения по данным **Периметр \( P \):** \[ 2(a + b) = 14 \] Отсюда: \[ a + b = 7 \quad (1) \] **Диагональ \( d \):** По теореме Пифагора, диагональ связана со сторонами как: \[ a^2 + b^2 = d^2 \] Подставим значение \( d = 5 \): \[ a^2 + b^2 = 25 \quad (2) \] ### Шаг 2: Используем уравнения для поиска сторон Из уравнения (1): \[ b = 7 - a \] Подставим это в уравнение (2): \[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \] Объединим похожие члены: \[ a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25 \] \[ 2a^2 - 14a + 49 = 25 \] Вычтем 25 из обеих частей: \[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \] Разделим всё на 2 для упрощения: \[ a^2 - 7a + 12 = 0 \] ### Шаг 3: Решаем квадратичное уравнение Используем формулу: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Значения: \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = 12 \). Подставим: \[ a = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2} \] Вычислим дискриминант: \[ (-7)^2 - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \] Тогда: \[ a = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ a = \frac{7 \pm 1}{2} \] Рассмотрим два варианта: 1. \( a = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) 2. \( a = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) ### Шаг 4: Найти соответствующие значения \( b \) Если \( a = 4 \), тогда из уравнения (1): \[ b = 7 - 4 = 3 \] Если \( a = 3 \), тогда: \[ b = 7 - 3 = 4 \] ### Итог: Пары сторон прямоугольника: - \( (a, b) = (4, 3) \) - или \( (3, 4) \) То есть стороны равны 3 см и 4 см. --- **Ответ:** Стороны прямоугольника — **3 см и 4 см**.