Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой 12, а высота равна 8. Вычислить объем пирамиды

Давайте подробно решим задачу по шагам. **Дано:** - Тип фигуры: правильная четырехугольная пирамида - Сторона основания \( a = 12 \) - Высота пирамиды \( h = 8 \) --- ## Шаг 1. Найдём площадь основания Основание — квадрат со стороной \( a = 12 \). Площадь квадрата: \[ S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \] --- ## Шаг 2. Найдём площадь боковой поверхности Пирамида правильная, значит каждая боковая грань — равнобедренный треуголь с основанием (одинаковой стороной) равной \( 12 \). Нам нужно найти площадь каждой боковой стороны, то есть площади треугольников, образующих боковые грани. --- ## Шаг 3. Определим апофис (рельефную высоту бокового треугольника) Для этого найдём высоту бокового треугольника (по вертикали, которая идёт от вершины пирамы к средней точки стороны основания). Мы знаем: - Высота пирамиды \( h = 8 \), - Половина стороны основания: \( \frac{a}{2} = 6 \). В вершине пирамиды от основания к вершине идёт высота \( h = 8 \). Рассмотрим треугольник, образованный: - высотой пирамиды, - половиной стороны основания (\( 6 \)), - и высотой бокового треугольника (апофисом, обозначим как \( s \)). --- ## Шаг 4. Найдём длину апофиса боковой грани Применим теорему Пифагора к треугольнику, образованному: - высотой пирамиды \( h = 8 \), - половиной основания \( 6 \), - апофисом \( s \). Мысленно представим, что апофис — это гипотенуза треугольника, у которого: - один катет — высота пирамиды \( 8 \), - другой катет — половина стороны основания \( 6 \). Тогда: \[ s = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] Итак, апофис бокового треугольника равен \( s =10 \). --- ## Шаг 5. Найдём площадь бокового треугольника Боковая грань — треугольник с основанием \( 12 \) и высотой, равной апофису \( s = 10 \). Площадь одного бокового треугольника — боковой стороны: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times основание \times апофис = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 6 \times 10 = 60 \] --- ## Шаг 6. Найдём полную площадь боковой поверхности Площадь всех 4 боковых граней: \[ S_{боковая} = 4 \times 60 = 240 \] --- ## Шаг 7. Площадь полной поверхности пирамиды Это сумма площади основания и боковой поверхности: \[ S_{полн} = S_{осн} + S_{боковая} = 144 + 240 = 384 \] --- ## Шаг 8. Найдём объём пирамиды Объём правильной пирамида: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times 144 \times 8 \] Вычислим: \[ V = \frac{1}{3} \times 1152 = 384 \] --- ## Итоговые ответы: - **Площадь полной поверхности**: **384** - **Объем пирамиды**: **384** --- Если нужно объяснение или уточнения, я готов помочь!