Давайте подробно решим задачу по шагам.
Дано:
- На окружности выделен центр ( O ).
- Точки ( A ) и ( B ) — на окружности.
- Угол ( \angle AOB = 120^\circ ).
- Длина меньшей дуги ( AB ) равна 67.
- Нужно найти длину большей дуги ( AB ).
Шаг 1. Определение свойств
Поскольку ( A ) и ( B ) — точки на окружности, дуга ( AB ):
- соответствует центральному углу ( \angle AOB ).
- делит окружность на две дуги: меньшую и большую.
Общее свойство: сумма длин двух дуг равна длине всей окружности.
Длина дуги есепляется по формуле:
[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times C
]
где:
- ( \theta ) — центральный угол в градусах
- ( C ) — длина окружности
Шаг 2. Выясним, какая дуга меньшая
- Центр ( O ) и угол ( 120^\circ ) указывают, что дуга, соответствующая этому углу, — это меньшая дуга ( AB ), её длина равна 67.
- Тогда большая дуга!!! ( AB ) — это дуга, соответствующая ( 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ ).
Шаг 3. Связь длины дуги с длиной окружности
Из условия:
[
L_{меньшая} = 67
]
и угол, соответствующий ей:
[
\theta_{меньшая} = 120^\circ
]
Для обеих дуг одна и та же окружность, значит:
[
\frac{L_{меньшая}}{67} = \frac{120^\circ}{\text{общая длина окружности } C}
]
Обозначим:
[
C = \text{длина всей окружности}
]
Тогда:
[
L_{меньшая} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times C
]
[
67 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times C
]
Решаем уравнение для ( C ):
[
C = 67 \times \frac{360^\circ}{120^\circ} = 67 \times 3 = 201
]
Итак, длина всей окружности равна 201.
Шаг 4. Находим длину большей дуги
Она соответствует центральному углу ( 240^\circ ):
[
L_{большая} = \frac{240^\circ}{360^\circ} \times C
]
[
L_{большая} = \frac{240^\circ}{360^\circ} \times 201 = \frac{2}{3} \times 201 = 134
]
Ответ:
[
\boxed{Длина большей дуги ( AB ) равна 134}
]
Если есть ещё вопросы или нужна дополнительная помощь, обращайтесь!
