на окружносте выделен центр буквой О с отмеченными буквами А и Б так, что угол АОБ=120°. длинна меньшей дуги АБ=67, найдите длину большей дуги
Давайте подробно решим задачу по шагам.
Дано:
- На окружности выделен центр \( O \).
- Точки \( A \) и \( B \) — на окружности.
- Угол \( \angle AOB = 120^\circ \).
- Длина меньшей дуги \( AB \) равна 67.
- Нужно найти длину большей дуги \( AB \).
Шаг 1. Определение свойств
Поскольку \( A \) и \( B \) — точки на окружности, дуга \( AB \):
- соответствует центральному углу \( \angle AOB \).
- делит окружность на две дуги: меньшую и большую.
Общее свойство: сумма длин двух дуг равна длине всей окружности.
Длина дуги есепляется по формуле: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times C \] где:
- \( \theta \) — центральный угол в градусах
- \( C \) — длина окружности
Шаг 2. Выясним, какая дуга меньшая
- Центр \( O \) и угол \( 120^\circ \) указывают, что дуга, соответствующая этому углу, — это меньшая дуга \( AB \), её длина равна 67.
- Тогда большая дуга!!! \( AB \) — это дуга, соответствующая \( 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \).
Шаг 3. Связь длины дуги с длиной окружности
Из условия: \[ L_{меньшая} = 67 \] и угол, соответствующий ей: \[ \theta_{меньшая} = 120^\circ \]
Для обеих дуг одна и та же окружность, значит: \[ \frac{L_{меньшая}}{67} = \frac{120^\circ}{\text{общая длина окружности } C} \]
Обозначим: \[ C = \text{длина всей окружности} \]
Тогда: \[ L_{меньшая} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times C \] \[ 67 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times C \]
Решаем уравнение для \( C \): \[ C = 67 \times \frac{360^\circ}{120^\circ} = 67 \times 3 = 201 \]
Итак, длина всей окружности равна 201.
Шаг 4. Находим длину большей дуги
Она соответствует центральному углу \( 240^\circ \):
\[ L_{большая} = \frac{240^\circ}{360^\circ} \times C \] \[ L_{большая} = \frac{240^\circ}{360^\circ} \times 201 = \frac{2}{3} \times 201 = 134 \]
Ответ:
\[ \boxed{Длина большей дуги \( AB \) равна 134} \]
Если есть ещё вопросы или нужна дополнительная помощь, обращайтесь!
