В тетраэдре DABC грани ABC и DBC взаимно перпендикулярны и являются правильными треугольниками. Найдите тангенс угла между гранями ADC и ABC.
Давайте внимательно разберем задачу и поэтапно решим её.
Дано:
- В тетраэдре DABC грани ABC и DBC взаимно перпендикулярны.
- Грани ABC и DBC — правильные треугольники.
- Требуется найти тангенс угла между гранями ADC и ABC.
Шаг 1. Вводные сведения и строение задачи
- Грани ABC и DBC — правильные треугольники, значит:
- В треугольнике ABC все стороны равны.
- В треугольнике DBC все стороны равны.
- Грани ABC и DBC взаимно перпендикулярны, то есть:
- Их нормальные векторы перпендикулярны.
Шаг 2. Упрощение условий
Обозначим:
- \( AB = BC = AC = a \) — сторона правильного треугольника ABC.
- \( BD = DC = BC = a \) — сторона правильного треугольника DBC.
Поскольку ABC и DBC — взаимно перпендикулярны, то в пространстве их площади расположены так, что угол между плоскостями равен 90°.
Шаг 3. Расположение точек и выбор системы координат
Для удобства выберем координатную систему:
- Пусть точка \( B \) — начало координат: \( B(0,0,0) \).
- Пусть \( A \) лежит на оси \( x \): \( A(a,0,0) \).
- Пусть \( C \) лежит на оси \( y \): \( C(0,a,0) \).
Тогда:
- Грань ABC — плоскость через точки \( A(a,0,0) \), \( B(0,0,0) \), \( C(0,a,0) \).
Поскольку ABC — правильный треугольник, и все стороны равны, и они лежат в одной плоскости, её уравнение: \[ \text{Плоскость ABC: } z=0. \]
Шаг 4. Координаты точки D
Теперь нужно определить расположение точки \( D \), так чтобы:
- \( D \) был на расстоянии \( a \) от \( B(0,0,0) \),
- Грани DBC — правильный треугольник.
Пусть \( D \) находится в пространстве с координатами \( (x_D, y_D, z_D) \).
Так как треугольник DBC — правильный, и \( D \) находится на расстоянии \( a \) от \( B \), то: \[ |BD| = a \quad \Rightarrow \quad x_D^2 + y_D^2 + z_D^2 = a^2. \]
Треугольник DBC — правильный, с равными сторонами: \[ |DB|=|DC|=a, \] а точки \( C(0,a,0) \) и \( B(0,0,0) \).
Обозначим \( D \) так, чтобы расстояния: \[ |D C| = a. \] Выражение: \[ (x_D - 0)^2 + (y_D - a)^2 + (z_D-0)^2 = a^2, \] или: \[ x_D^2 + (y_D - a)^2 + z_D^2 = a^2. \]
Также из условия \( |BD| = a \): \[ x_D^2 + y_D^2 + z_D^2 = a^2. \]
Вычитая последнее из первого, получаем: \[ x_D^2 + (y_D - a)^2 + z_D^2 - (x_D^2 + y_D^2 + z_D^2) = 0, \] упрощая: \[ (y_D - a)^2 - y_D^2 = 0, \] \[ (y_D^2 - 2a y_D + a^2) - y_D^2 = 0, \] \[ -2a y_D + a^2 = 0, \] \[ 2a y_D = a^2, \] \[ y_D = \frac{a}{2}. \]
Теперь подставим \( y_D = \frac{a}{2} \) в уравнение: \[ x_D^2 + y_D^2 + z_D^2 = a^2, \] \[ x_D^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + z_D^2 = a^2, \] \[ x_D^2 + \frac{a^2}{4} + z_D^2 = a^2, \] \[ x_D^2 + z_D^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}. \]
Проще говоря: \[ x_D^2 + z_D^2 = \frac{3a^2}{4}. \]
Шаг 5. Определение положения точки D
Поскольку никаких ограничений на \( x_D \) и \( z_D \), выберем минимальную ситуацию, например, \( x_D=0 \):
Тогда: \[ z_D^2 = \frac{3a^2}{4} \Rightarrow z_D = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}a. \]
Выберем \( D = (0, \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a) \), так как это удобно для вычислений.
Шаг 6. Определение нормальных векторов плоскостей
Плоскость \( ABC \): точка \( A(a,0,0) \), \( B(0,0,0) \), \( C(0,a,0) \).
- Векторы на грани: \[ \vec{AB} = (-a,0,0), \quad \vec{AC} = (0,a,0). \]
- Векторное произведение — нормаль: \[ \vec{n}_{ABC} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix} = (0,0, -a^2). \] — или \[ \vec{n}_{ABC} = (0,0,-a^2), \] которое можно упростить до \[ (0,0,-1). \]
Плоскость \( ADC \): точки \( A(a,0,0) \), \( D(0, a/2, \sqrt{3}/2\,a) \), \( C(0,a,0) \).
- Векторы: \[ \vec{AD} = (0 - a, \frac{a}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2}a - 0) = (-a, \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a), \] \[ \vec{AC} = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0). \]
- Нормаль к плоскости \( ADC \): \[ \vec{n}_{ADC} = \vec{AD} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & \frac{a}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}a \\ -a & a & 0 \end{vmatrix}. \]
Вычисляем детерминант: \[ \vec{n}_{ADC} = \mathbf{i} \left( \frac{a}{2} \times 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}a \times a \right) - \mathbf{j} \left( -a \times 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}a \times (-a) \right) + \mathbf{k} \left( -a \times a - \frac{a}{2} \times (-a) \right). \]
Упростим:
- Компонента \( i \): \[ 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 = - \frac{\sqrt{3}}{2}a^2, \]
- Компонента \( j \): \[ - \left( 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 \right ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}a^2, \]
- Компонента \( k \): \[ (-a)(a) - \frac{a}{2}(-a) = -a^2 + \frac{a^2}{2} = - \frac{a^2}{2}. \]
Следовательно: \[ \vec{n}_{ADC} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} a^2, - \frac{\sqrt{3}}{2} a^2, - \frac{a^2}{2} \right). \]
Определим единичный нормаль: \[ |\vec{n}_{ADC}|=a^2 \sqrt{ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 } = a^2 \sqrt{ \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} } = a^2 \sqrt{ \frac{7}{4} } = a^2 \frac{\sqrt{7}}{2}. \]
Итак, единичный нормаль: \[ \hat{\vec{n}}_{ADC} = \frac{2}{a^2 \sqrt{7}} \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} a^2, - \frac{\sqrt{3}}{2} a^2, - \frac{a^2}{2} \right) = \left( - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, - \frac{1}{\sqrt{7}} \right). \]
Шаг 7. Вычисление угла между плоскостями
- Нормаль к плоскости \( ABC \): \( (0,0,-1) \).
- Нормаль к плоскости \( ADC \): \( \left( - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, - \frac{1}{\sqrt{7}} \right) \).
Угол \( \theta \) между плоскостями определяется через скалярное произведение нормалей:
\[ \cos \theta = \left| \hat{\vec{n}}_{ABC} \cdot \hat{\vec{n}}_{ADC} \right|. \]
Подставим: \[ \hat{\vec{n}}_{ABC} = (0,0,-1), \] \[ \hat{\vec{n}}_{ADC} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, - \frac{1}{\sqrt{7}} \right). \]
Произведение: \[ 0 \times \left( - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) + 0 \times \left( - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \right) + (-1) \times \left( - \frac{1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{\sqrt{7}}. \]
Следовательно: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{7}}, \]
и \[ \theta = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{7}} \right). \]
Ответ:
Тангенс угла между гранями \( ADC \) и \( ABC \):
\[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1-\cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{\frac{6}{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{6/7}}{1/\sqrt{7}} = \sqrt{6/7} \times \sqrt{7} = \sqrt{6}. \]
Итог:
\[ \boxed{ \boxed{\tan \angle(\text{грани } ADC \text{ и } ABC) = \sqrt{6}}. } \]
Если есть дополнительные вопросы, пожалуйста, спрашивайте!
