Арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия

Конечно! Вот подробное объяснение арифметической и геометрической прогрессий с примерами и пошаговым разбором. --- ## Арифметическая прогрессия (АП) ### Что это такое? Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается прибавлением одного и того же фиксированного числа (разности) к предыдущему. ### Обозначения: - Первый член прогрессии: \( a_1 \) - Постоянная разность: \( d \) - \( n \)-й член прогрессии: \( a_n \) ### Формула для нахождения n-го члена: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \times d \] ### Формула для суммы первых n членов: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] или \[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1) d] \] ### Пример: Пусть \( a_1 = 3 \), \( d = 2 \), найдите 10-й член \( a_{10} \) и сумму первых 10 членов \( S_{10} \). - Вычисляем \( a_{10} \): \[ a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \] - Сумма первых 10 членов: \[ S_{10} = \frac{10}{2} (3 + 21) = 5 \times 24 = 120 \] --- ## Геометрическая прогрессия (ГП) ### Что это такое? Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое число получается умножением предыдущего числа на постоянное число (знаменатель или множитель). ### Обозначения: - Первый член прогрессии: \( a_1 \) - Постоянный множитель (знаменатель): \( q \) ### Формула для нахождения n-го члена: \[ a_n = a_1 \times q^{n - 1} \] ### Формула для суммы первых n членов: \[ S_n = a_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \quad \text{(если } q \neq 1\text{)} \] ### Пример: Пусть \( a_1 = 2 \), \( q = 3 \), найдите 5-й член и сумму первых 5 членов. - Вычисляем \( a_5 \): \[ a_5 = 2 \times 3^{4} = 2 \times 81 = 162 \] - Сумма первых 5 членов: \[ S_5 = 2 \times \frac{3^{5} - 1}{3 - 1} = 2 \times \frac{243 - 1}{2} = 2 \times 121 = 242 \] --- Если у вас есть конкретная задача или числа, присылайте — я помогу её решить!