Давайте подробно разберём задачу.
Дано:
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82.
- Один из острых углов равен 45°.
- Нужно найти площадь треугольника.
Шаг 1: Определим свойства треугольника
Поскольку один из острых углов равен 45°, то треугольник является равнобедренным прямоугольным, так как в прямоугольном треугольнике острый угол 45° и, следовательно, остальные катеты равны.
Обоснование:
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, а один из них — 45°, значит другой острый угол тоже равен 45°.
- В таком случае, катеты равны, потому что это является свойством равнобедренного прямоугольного треугольника.
Шаг 2: Найдём длины катетов
Обозначим катеты как ( a ).
Из свойства равнобедренного прямоугольного треугольника:
[
a = a
]
Гипотенуза связана с катетом через теорему Пифагора:
[
c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2
]
Где ( c = 82 ) — гипотенуза.
Подставим и найдём ( a ):
[
82^2 = 2a^2
]
[
a^2 = \frac{82^2}{2}
]
Рассчитаем:
[
82^2 = 6724
]
[
a^2 = \frac{6724}{2} = 3362
]
[
a = \sqrt{3362}
]
Рассчитаем приближённо:
[
a \approx \sqrt{3362} \approx 58
]
(так как ( 58^2 = 3364 ), очень близко к 3362, значит ( a \approx 58 )).
Шаг 3: Найдём площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника с катетами ( a ) и ( a ):
[
S = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} a^2
]
Подставим число ( a^2 = 3362 ):
[
S \approx \frac{1}{2} \times 3362 = 1681
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Площадь треугольника} \approx 1681
}
]
или, если более точно:
[
S = \frac{1}{2} \times a^2 = \frac{1}{2} \times 3362 \approx 1681
]
Если есть вопросы или нужно более подробно объяснить какие-то моменты — скажи!
