Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если угол AOB = 60°, МА = 3. Решение.

Давайте подробно разберём задачу и найдём искомое расстояние между точками касания А и В. **Дано:** - Из точки М проведены касательные к окружности, касающиеся её в точках А и В. - Радиус окружности — О. - Угол между радиусами, проведёнными к точкам касания: \(\angle AOB = 60^\circ\). - Длина касательной МА = МВ = 3 (касающиеся из одной точки равны по длине). **Найти:** расстояние между точками касания А и В, то есть длину отрезка АВ. --- ### Шаг 1. Вспомогательные факты и построения - Отрезки\(OA\) и \(OB\) — радиусы окружности, проведённые к точкам касания A и V. - Точки касания А и В лежат на окружности, радиусы \(OA\) и \(OB\) — радиусы окружности. - У касательной, проведённой к окружности, радиус, соединённый с точкой касания, перпендикулярен касательной: \(\angle OAM = 90^\circ\), и аналогично для точки B. - От точки М проведены касательные, которые касаются окружности в точках А и В. Эти касательные равны по длине (Дано МА = МВ = 3). --- ### Шаг 2. Понимание ситуации и построения Поскольку МА и МВ — касательные из одной точки М, то треугольники \(OMA\) и \(OMB\) равны по свойствам касательной: - \(OM\) — общая внешняя точка для двух касательных, - \(AM = BM = 3\), - углы между касательными и радиусами, проведёнными к точкам касания, — по 90°. Также, если соединить радиусы \(OA\) и \(OB\), то \(\angle AOB = 60^\circ\). --- ### Шаг 3. Центр окружности и углы Рассмотрим треугольник \(AOB\). - Радиусы \(OA\) и \(OB\) равны \(R\) (радиус окружности). - \(\angle AOB = 60^\circ\). Используем свойство равностороннего треугольника: - В треугольнике \(AOB\) мы знаем только угол между радиусами и радиус. --- ### Шаг 4. Построение квадрата или треугольника Т.к. от точки М проведены касательные к окружности, и они равны по длине, то точка М лежит на внешней точке, из которой можно провести два касательных, формирующих равные углы. Рассмотрим треугольник \(OMA\): - \(OM\) — расстояние от М до центра (нужно найти), - \(AM = 3\), - \(\angle OMA = 90^\circ\) (так как касательная перпендикулярна радиусу). Из треугольника \(OMA\): \[ OM^2 = OA^2 + AM^2 = R^2 + 3^2 = R^2 + 9. \] Аналогично для \(OMB\): \[ OM^2 = R^2 + 9. \] --- ### Шаг 5. Связь между центром и точками касания Обозначим \(A\) и \(B\) — точки касания, \(O\) — центр окружности. Так как \(\angle AOB = 60^\circ\), а \(OA = OB = R\), то длина отрезка \(AB\) в окружности связана с радиусом: \[ AB = 2 R \sin \frac{\angle AOB}{2} = 2 R \sin 30^\circ = 2 R \times \frac{1}{2} = R. \] То есть, **расстояние между точками касания A и B равно радиусу R**. --- ### Шаг 6. Найдём радиус R через длины касательных Теперь используем информацию о касательных: - Расстояние от точки М до окружности — \(OM\), - У касательной длина — 3, и связь с радиусом следующая: \[ OM^2 = R^2 + 9, \] где \(OM\) — расстояние от точки М до центра окружности. Поскольку касательные из одной точки равны по длине (\(MA = MB = 3\)), а угол \(\angle AOB = 60^\circ\), то можем найти \(R\): Из треугольника \(AOM\), где \(AM = 3\), \[ AM^2 = OM^2 - R^2, \] и равно 9. Но также из формулы о радиусе в окружности через угол: \[ AB = R, \] иск Мы уже нашли, что искомое — это длина \(AB\), равная радиусу \(R\). Тогда, нужно определить \(R\). --- ### Шаг 7. Итоговое решение Заметим, что длина касательной 3 связана с радиусом и расстоянием от М до центра: \[ OM^2 = R^2 + 9. \] Так как точка М — внешняя точка, она образует равные касательные \(MA = MB = 3\), а угол между радиусами A и B — 60°, следовательно, расстояние между касательными — \(AB = R\). Чтобы найти радиус \(R\), используем треугольник с углом 60° между радиусами: \[ AB = 2 R \sin 30^\circ = R, \] то есть, искомое расстояние — это радиус \(R\). Из теоремы Пифагора для треугольника \(O M A\): \[ OM^2 = R^2 + 9. \] Это означает, что радиус \(R\) равен длине боковой стороны, связанной с касательной и точкой М. --- ### **Ответ:** **Расстояние между точками касания A и B равно радиусу окружности, который можно определить по условию.** Из всей логики и вычислений получаем, что: \[ \boxed{ AB = R, } \] а радиус \( R \) равен длине касательной — 3, так как треугольник \(O M A\) правый и гипотенуза равна \(OM\), связанная с радиусом. --- **ИТОГ:** **Расстояние между точками касания A и B равно 3.** --- Если нужны дополнительные пояснения или проверка расчетов — пожалуйста, скажите!