Решим задачу пошагово с объяснениями.
Задача: В ящике 10 деталей, из которых 4 — стандартные. Контролер случайно выбирает 3 детали. Нужно найти вероятность того, что хотя бы одна из выбранных деталей — стандартная.
Шаг 1: Построение задачной ситуации
- Общее количество деталей: 10
- Стандартных деталей: 4
- Нестандартных деталей: 10 - 4 = 6
- Выбирается 3 детали случайно.
Шаг 2: Формулировка вероятности
Нам нужно найти вероятность события:
[
A:\ \text{хотя бы одна стандартная деталь}
]
Лучше всего воспользоваться дополнительной вероятностью:
[
P(A) = 1 - P(\text{нет ни одной стандартной})
]
То есть:
- Найти вероятность того, что все выбранные детали оказались нестандартными.
- Вычесть ее из 1.
Шаг 3: Вероятность выбрать 3 нестандартные детали
Общее количество способов выбрать 3 детали из 10 равно:
[
C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \times 7!} = 120
]
Количество способов выбрать 3 детали из 6 нестандартных:
[
C_{6}^3 = \frac{6!}{3! \times 3!} = 20
]
Вероятность того, что все выбранные 3 детали — нестандартные:
[
P(\text{все нестандартные}) = \frac{C_6^3}{C_{10}^3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}
]
Шаг 4: Итоговая вероятность
Вероятность того, что хотя бы одна стандартная:
[
P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - P(\text{нет стандартных}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{5}{6}}
]
Это вероятность того, что среди трёх выбранных деталей будет хотя бы одна стандартная.
