Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 950 км, выехал первый автомобиль. Через 4 часа вслед за ним из пункта А выехал второй автомобиль со скоростью на 18 км/ч больше…

Рассмотрим задачу пошагово:

Дано:

• Расстояние между пунктами А и В: \( 950 \) км
• Первый автомобиль выехал из пункта А.
• Через 4 часа после первого выезда из пункта А во второй автомобиль выехал из пункта А.
• Скорость второго автомобиля на 18 км/ч больше скорости первого.
• Время прибытия обоих автомобилей в пункт В одинаковое.

Обозначим:

• \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч)
• \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч) = \( v_1 + 18 \)

Теперь, чтобы оба автомобиля приехали одновременно, они должны пройти путь за свои времена, равные по длительности.

Время пути первого автомобиля:

Первый начал движение в момент \( t = 0 \), и его время пути:
\[ t_1 = \frac{950}{v_1} \]

Время пути второго автомобиля:

Второй автомобиль выехал через 4 часа после первого, значит, он стартовал в момент \( t = 4 \) часа.
Общее время его пути:
\[ t_2 = t_{общ} - 4 \]

где \( t_{общ} \) — время, за которое оба добираются до пункта В (одинаковое для обоих).

Так как второй автомобиль начал через 4 часа, а тоже приехал в пункт В одновременно с первым, то:

\[ t_2 = \frac{950}{v_2} \]

и

\[ t_{общ} = 4 + t_2 = 4 + \frac{950}{v_2} \]

Однако, второй автомобиль проехал за время \( t_2 \), а за это время он прошел расстояние:

\[ 950 \text{ км} \]

верно?

Нет, тут нужно учесть, что второй автомобиль стартовал через 4 часа, и его путь за это время составил \( v_2 \times t_2 \), и при этом он прошел весь путь 950 км:

\[ v_2 \times t_2 = 950 \]

А также известно, что \( t_2 = t_{общ} - 4 \), то есть:

\[ v_2 \times (t_{общ} - 4) = 950 \]

Кроме того, первый автомобиль за время \( t_{общ} \) прошел тоже 950 км:

\[ v_1 \times t_{общ} = 950 \]

Теперь у нас есть две уравнения:

1. \( v_1 \times t_{общ} = 950 \)
2. \( v_2 \times (t_{общ} - 4) = 950 \)

Также, по условию, \( v_2 = v_1 + 18 \).

Подставим \( v_2 \):

\[ (v_1 + 18)(t_{общ} - 4) = 950 \]

Из первого уравнения выразим \( t_{общ} \):

\[ t_{общ} = \frac{950}{v_1} \]

Подставим его во второе уравнение:

\[ (v_1 + 18)\left(\frac{950}{v_1} - 4\right) = 950 \]

Раскроем скобки:

\[ (v_1 + 18) \times \left(\frac{950 - 4 v_1}{v_1}\right) = 950 \]

Запишем это подробно:

\[ \frac{(v_1 + 18)(950 - 4 v_1)}{v_1} = 950 \]

Домножим обе части уравнения на \( v_1 \):

\[ (v_1 + 18)(950 - 4 v_1) = 950 v_1 \]

Раскроем скобки слева:

\[ v_1 \times 950 - v_1 \times 4 v_1 + 18 \times 950 - 18 \times 4 v_1 = 950 v_1 \]

\[ 950 v_1 - 4 v_1^2 + 17100 - 72 v_1 = 950 v_1 \]

Теперь перенесем все в левую сторону:

\[ 950 v_1 - 4 v_1^2 + 17100 - 72 v_1 - 950 v_1 = 0 \]

Обратите внимание, что \( 950 v_1 \) в первой и четвертой позициях сокращаются:

\[ (950 v_1 - 950 v_1) - 4 v_1^2 - 72 v_1 + 17100 = 0 \]

Получаем:

\[ -4 v_1^2 - 72 v_1 + 17100 = 0 \]

Делим всё уравнение на -4 для упрощения:

\[ v_1^2 + 18 v_1 - 4275 = 0 \]

Это квадратное уравнение:

\[ v_1^2 + 18 v_1 - 4275 = 0 \]

Решим его по формуле:

\[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a=1 \), \( b=18 \), \( c=-4275 \).

Вычислим дискриминант:

\[ D = 18^2 - 4 \times 1 \times (-4275) = 324 + 17100 = 17424 \]

Найдем корень:

\[ v_1 = \frac{-18 \pm \sqrt{17424}}{2} \]

Найдем \( \sqrt{17424} \):

\[ \sqrt{17424} \approx 132 \] (округление)

Тогда:

\[ v_1 = \frac{-18 \pm 132}{2} \]

Два варианта:

1. \( v_1 = \frac{-18 + 132}{2} = \frac{114}{2} = 57 \)
2. \( v_1 = \frac{-18 - 132}{2} = \frac{-150}{2} = -75 \) (положительная скорость не может быть отрицательной)

Следовательно, \( v_1 = 57 \) км/ч.

Теперь найдём скорость второго автомобиля:

\[ v_2 = v_1 + 18 = 57 + 18 = 75 \text{ км/ч} \]

Ответ:

Вторая машина движется со скоростью — 75 км/ч.