Решить задачу два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 180 м'. Первый каменщик в день укладывает на 5 1,2 плитки больше, чем второй, и…

Давайте обозначим:

• \( x \) — количество плиток, которое укладывает в день первый каменщик.
• \( y \) — количество плиток, которое укладывает в день второй каменщик.

По условию:

1. Первый укладывает на 1,2 плитки больше, чем второй: \[ x = y + 1,2 \]

2. Время работы:

• Первый каменщик работает \( t \) дней,
• Второй — \( t + 3 \) дней.

Общая площадь, которую покрывают оба участка, равна 180 м². Предположим, что один м² — это определённое количество плиток. Но задача говорит, что каждый участок — 180 м² — это масса плитки, которая укладывается на первый и второй участки. Тогда, если считать, что одна плитка укладывается на 1 м², то:

Общая укладка первого каменщика: \[ x \times t \]

Общая укладка второго каменщика: \[ y \times (t + 3) \]

Общая площадь двух участков: \[ x t + y (t + 3) = 180 \times 2 = 360\, \text{м}^2 \]

Подставим \( x = y + 1,2 \):

\[ (y + 1,2) t + y (t + 3) = 360 \]

Раскроем скобки:

\[ (y t + 1,2 t) + (y t + 3 y) = 360 \]

Объединим подобные:

\[ y t + 1,2 t + y t + 3 y = 360 \] \[ (2 y t) + 1,2 t + 3 y = 360 \]

Выразим \( y \) через \( t \): \[ 2 y t + 1,2 t + 3 y = 360 \]

Перенесем все в уравнение:

\[ 2 y t + 3 y = 360 - 1,2 t \]

Вынесем \( y \): \[ y (2 t + 3) = 360 - 1,2 t \] \[ y = \frac{360 - 1,2 t}{2 t + 3} \]

Также, изначально \( x = y + 1,2 \), и интересует количество плиток, укладываемых первым каменщиком в день, то есть \( x \).

Чтобы найти \( x \), нужно выбрать \( t \) так, чтобы \( y \) было натуральным и положительным. Оптимально искать \( t \), при котором \( y \) — целое число.

Пусть \( t \) — целое, попробуем подставить разные значения:

Пробуем \( t = 12 \):

\[ y = \frac{360 - 1,2 \times 12}{2 \times 12 + 3} = \frac{360 - 14,4}{27} = \frac{345,6}{27} \approx 12,8 \]

не целое, не подходит.

Пробуем \( t = 15 \):

\[ y = \frac{360 - 1,2 \times 15}{2 \times 15 + 3} = \frac{360 - 18}{33} = \frac{342}{33} \approx 10,36 \]

не целое.

Пробуем \( t = 20 \):

\[ y = \frac{360 - 1,2 \times 20}{2 \times 20 + 3} = \frac{360 - 24}{43} = \frac{336}{43} \approx 7,81 \]

нет.

Попробуем \( t= 10 \):

\[ y = \frac{360 - 12}{23} = \frac{348}{23} \approx 15,13 \]

нет.

Попробуем \( t= 18 \):

\[ y = \frac{360 - 1,2 \times 18}{2 \times 18 + 3} = \frac{360 - 21,6}{39} = \frac{338,4}{39} \approx 8,68 \]

Нет.

Пробуем \( t = 24 \):

\[ y = \frac{360 - 1,2 \times 24}{2 \times 24 + 3} = \frac{360 - 28,8}{51} = \frac{331,2}{51} \approx 6,49 \]

Нет.

Попробуем \( t= 9 \):

\[ y = \frac{360 - 1,2 \times 9}{2 \times 9 + 3} = \frac{360 - 10,8}{21} \approx \frac{349,2}{21} \approx 16,63 \]

Нет.

Попробуем \( t= 5 \):

\[ y = \frac{360 - 6}{13} = \frac{354}{13} \approx 27,23 \]

Нет.

Пробуем \( t= 6 \):

\[ y = \frac{360 - 7,2}{15} = \frac{352,8}{15} \approx 23,52 \]

Нет.

Попробуем \( t= 7 \):

\[ y = \frac{360 - 8,4}{17} = \frac{351,6}{17} \approx 20,68 \]

Нет.

Видно, что при всем этом \( y \) не принимает целых значений. Тогда можно предположить, что задание имеет другой смысл — что одна плитка укладывается на 1 м², и области покрытия одинаковы, а вопрос — сколько квадратных метров укладывает в день первый каменщик.

Из условия, что оба участка — по 180 м², укладывают 2 участка, т.е. 360 м² за весь период.

Используем формулу:

Общая работа первого каменщика за \( t \) дней:

\[ x \times t \]

работа второго за \( t+3 \) дней: \[ y \times (t+3) \]

Общая площадь:

\[ x t + y (t + 3) = 360 \]

Подставим \( y = x - 1,2 \):

\[ x t + (x - 1,2)(t + 3) = 360 \]

Раскроем скобки:

\[ x t + x (t + 3) - 1,2 (t + 3) = 360 \] \[ x t + x t + 3 x - 1,2 t - 3,6 = 360 \]

Объединим:

\[ 2 x t + 3 x - 1,2 t - 3,6 = 360 \]

Выразим \( x \):

\[ 2 x t + 3 x = 360 + 1,2 t + 3,6 \] \[ x (2 t + 3) = 360 + 1,2 t + 3,6 \] \[ x = \frac{360 + 1,2 t + 3,6}{2 t + 3} \]

Для получения целого \( x \), ищем подходящее \( t \):

Пробуем \( t= 12 \):

\[ x = \frac{360 + 1,2 \times 12 + 3,6}{2 \times 12 + 3} = \frac{360 + 14,4 + 3,6}{27} = \frac{378}{27} = 14 \]

Отлично — получаем \( x = 14 \).

Тогда\( y = x - 1,2 = 14 - 1,2 = 12,8 \).

Хотя \( y \) — это дробное число, допустимо ли это? В условии указано "на 1,2 плитки больше", то есть \( x \) и \( y \) — дробные. Это допустимо, поскольку речь идет о плитке на день.

Таким образом, первый каменщик укладывает 14 плиток в день.

Если рассматривать, что каждая плитка — это 1 м², то:

Ответ: Первый каменщик укладывает 14 м² плитки в день.

---

Итог:
Первый каменщик укладывает 14 квадратных метров плитки в день.