Определи совершённую идеальным одноатомным газом работу по изменению его термодинамического состояния из 1 в 2, учитывая, что газ находится в герметичном сосуде без теплообмена и…
Определи совершённую идеальным одноатомным газом работу по изменению его термодинамического состояния из 1 в 2, учитывая, что газ находится в герметичном сосуде без теплообмена и значения физических характеристик - p1 = 16 кПа, p2 = 4 кПа, V1 = 2 л, V2 = 3 л. (Ответ округли до целых.)
Давайте подробно разберем задачу по определению работы идеального одноатомного газа при изменении его состояния.
Дано:
- начальное давление p₁ = 16 кПа
- конечное давление p₂ = 4 кПа
- начальный объем V₁ = 2 л
- конечный объем V₂ = 3 л
- процесс адиабатический (герметичный сосуд без теплообмена)
Задача: найти работу газа при переходе из состояния 1 в состояние 2.
Шаг 1. Запишем формулы для рабочего процесса
Для адиабатического процесса газа (если предположить, что процесс — адиабатический, так как "в герметичном сосуде без теплообмена"):
\[ p V^\gamma = \text{const} \]
где \(\gamma\) — показатель адиабаты для одноатомного газа (\(\gamma= \frac{5}{3} \approx 1.67\)).
Работа газа при адиабатическом процессе вычисляется по формуле:
\[ A = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{\gamma - 1} \]
Для этого нужно убедиться, что процесс именно адиабатический, и использовать соответствующие параметры.
Шаг 2. Проверим, согласуются ли данные для адиабатического процесса
Проверим, соответствует ли изменение давления и объема адиабатическому процессу. Для адиабаты:
\[ p_1 V_1^\gamma = p_2 V_2^\gamma \]
Проверим:
\[ p_1 V_1^\gamma = 16 \times (2)^{1.67} \] \[ p_2 V_2^\gamma = 4 \times (3)^{1.67} \]
Посчитаем приблизительно:
\[ (2)^{1.67} \approx e^{1.67 \times \ln 2} \approx e^{1.67 \times 0.693} \approx e^{1.157} \approx 3.18 \] \[ (3)^{1.67} \approx e^{1.67 \times 1.0986} \approx e^{1.833} \approx 6.25 \]
Теперь проверим:
\[ 16 \times 3.18 \approx 50.9 \] \[ 4 \times 6.25 = 25 \]
Значения не совпадают, значит процесс не является адиабатическим.
Шаг 3. Обоснование — процесс изотермический или иной
Поскольку процесс не соответствует адиабатическому, но в условии сказано, что сосуд герметичный без теплообмена, это — изотермический процесс (поскольку давление меняется, а тепло не уходит, из условия, видимо, подразумевается изотерма, если температура постоянна). Однако, еще возможен другой процесс, например, изобарный или произвольный.
Поскольку изменение объема и давления известно, а теплообмен — нет, будем считать, что процесс — изотермический, тогда:
\[ A = n R T \ln \frac{V_2}{V_1} \]
или через состояние:
Из уравнения состояния:
\[ p V = n R T \]
Следовательно, давление и объем связаны температурой.
Шаг 4. Найдем работу по формуле для изотермического процесса:
Работа:
\[ A = p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} \]
или:
\[ A = p_2 V_2 \ln \frac{V_2}{V_1} \]
среднее значение — лучше использовать параметры из начальных или конечных состояний:
\[ A = n R T \ln \frac{V_2}{V_1} \]
или, проще, через давление и объем:
\[ A = p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} \]
подставим значения:
\[ A = 16 \text{ кПа} \times 2 \text{ л} \times \ln \frac{3}{2} \]
Переведем единицы давления и объема в джоули:
- 1 кПа·л = 1 кДж (так как:
\[ 1 \text{ кПа} \times 1 \text{ л} = 1 \text{ кДж} \]
по формуле:
\[ A = p V \]
в джоулях).
Значит,
\[ A = 16 \times 2 \times \ln \frac{3}{2} \]
Посчитаем логарифм:
\[ \ln \frac{3}{2} \approx \ln 1.5 \approx 0.4055 \]
Теперь:
\[ A \approx 16 \times 2 \times 0.4055 = 32 \times 0.4055 \approx 13.0 \text{ кДж} \]
Итоговый ответ:
Работа газа около 13 кДж.
Округляем до целых — ответ: 13 кДж.
