Теплоход прошёл по течению реки из пункта А А в пункт Б Б 200 200 км км . После стоянки он вернулся в пункт А А . Найди скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной…

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

В данных:

• Расстояние по реке: 200 км (от пункта А до пункта Б).
• Скорость теплохода в неподвижной воде: 15 км/ч.
• Время стоянки на месте: 10 часов.
• Общий время пути туда и обратно, включая стоянку: 40 часов.
• Нужно найти скорость течения реки: \( v_t \) км/ч.

Что нужно понять:

• Путь туда: от А до Б по течению.
• Путь обратно: от Б до А против течения.
• Общий путь: 200 км туда + 200 км обратно.
• Общее время: 40 часов, включая время стоянки.

Обозначения:

• Скорость в воде (в неподвижной воде): \( v_0 = 15 \) км/ч.
• Скорость течения: \( v_t \) км/ч.
• Скорость теплохода по течению: \( v_{\text{по течению}} = v_0 + v_t \).
• Скорость против течения: \( v_{\text{против течения}} = v_0 - v_t \).

Время пути:

• Время в пути по течению: \( t_{1} = \frac{200}{v_0 + v_t} \).
• Время в пути против течения: \( t_{2} = \frac{200}{v_0 - v_t} \).

Общий время без стоянки: \[ t_{общий} = t_{1} + t_{2} = \frac{200}{v_0 + v_t} + \frac{200}{v_0 - v_t} \]

Общее время с учетом стоянки: \[ t_{всего} = t_{1} + t_{2} + 10 = 40 \text{ часов} \] Следовательно: \[ \frac{200}{v_0 + v_t} + \frac{200}{v_0 - v_t} + 10 = 40 \] или \[ \frac{200}{v_0 + v_t} + \frac{200}{v_0 - v_t} = 30 \]

Решение уравнения:

Пусть: \[ A = v_0 + v_t, \quad B = v_0 - v_t \] Тогда: \[ \frac{200}{A} + \frac{200}{B} = 30 \]

Объединим: \[ 200\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B}\right) = 30 \] \[ \frac{200(B + A)}{AB} = 30 \]

Подставим значение \(A\) и \(B\): \[ A = 15 + v_t, \quad B = 15 - v_t \]

Итак: \[ \frac{200[(15 + v_t) + (15 - v_t)]}{(15 + v_t)(15 - v_t)} = 30 \]

В числителе: \[ (15 + v_t) + (15 - v_t) = 15 + 15 = 30 \] Значит: \[ \frac{200 \times 30}{(15 + v_t)(15 - v_t)} = 30 \]

В числителе: \[ 200 \times 30 = 6000 \] Следовательно: \[ \frac{6000}{(15)^2 - v_t^2} = 30 \] так как: \[ (15 + v_t)(15 - v_t) = 15^2 - v_t^2 \]

Обратимся к уравнению: \[ \frac{6000}{225 - v_t^2} = 30 \] умножим обе части на \(225 - v_t^2\): \[ 6000 = 30(225 - v_t^2) \] \[ 6000 = 30 \times 225 - 30 v_t^2 \] \[ 6000 = 6750 - 30 v_t^2 \]

Перенесем всё в левую сторону: \[ 30 v_t^2 = 6750 - 6000 \] \[ 30 v_t^2 = 750 \] \[ v_t^2 = \frac{750}{30} = 25 \]

Итак: \[ v_t = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ:

\[ \boxed{5} \]

Скорость течения реки равна 5 км/ч.