Давайте разберём задачу шаг за шагом.
В данных:
- Расстояние по реке: 200 км (от пункта А до пункта Б).
- Скорость теплохода в неподвижной воде: 15 км/ч.
- Время стоянки на месте: 10 часов.
- Общий время пути туда и обратно, включая стоянку: 40 часов.
- Нужно найти скорость течения реки: ( v_t ) км/ч.
Что нужно понять:
- Путь туда: от А до Б по течению.
- Путь обратно: от Б до А против течения.
- Общий путь: 200 км туда + 200 км обратно.
- Общее время: 40 часов, включая время стоянки.
Обозначения:
- Скорость в воде (в неподвижной воде): ( v_0 = 15 ) км/ч.
- Скорость течения: ( v_t ) км/ч.
- Скорость теплохода по течению: ( v_{\text{по течению}} = v_0 + v_t ).
- Скорость против течения: ( v_{\text{против течения}} = v_0 - v_t ).
Время пути:
- Время в пути по течению: ( t_{1} = \frac{200}{v_0 + v_t} ).
- Время в пути против течения: ( t_{2} = \frac{200}{v_0 - v_t} ).
Общий время без стоянки:
[
t_{общий} = t_{1} + t_{2} = \frac{200}{v_0 + v_t} + \frac{200}{v_0 - v_t}
]
Общее время с учетом стоянки:
[
t_{всего} = t_{1} + t_{2} + 10 = 40 \text{ часов}
]
Следовательно:
[
\frac{200}{v_0 + v_t} + \frac{200}{v_0 - v_t} + 10 = 40
]
или
[
\frac{200}{v_0 + v_t} + \frac{200}{v_0 - v_t} = 30
]
Решение уравнения:
Пусть:
[
A = v_0 + v_t, \quad B = v_0 - v_t
]
Тогда:
[
\frac{200}{A} + \frac{200}{B} = 30
]
Объединим:
[
200\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B}\right) = 30
]
[
\frac{200(B + A)}{AB} = 30
]
Подставим значение (A) и (B):
[
A = 15 + v_t, \quad B = 15 - v_t
]
Итак:
[
\frac{200[(15 + v_t) + (15 - v_t)]}{(15 + v_t)(15 - v_t)} = 30
]
В числителе:
[
(15 + v_t) + (15 - v_t) = 15 + 15 = 30
]
Значит:
[
\frac{200 \times 30}{(15 + v_t)(15 - v_t)} = 30
]
В числителе:
[
200 \times 30 = 6000
]
Следовательно:
[
\frac{6000}{(15)^2 - v_t^2} = 30
]
так как:
[
(15 + v_t)(15 - v_t) = 15^2 - v_t^2
]
Обратимся к уравнению:
[
\frac{6000}{225 - v_t^2} = 30
]
умножим обе части на (225 - v_t^2):
[
6000 = 30(225 - v_t^2)
]
[
6000 = 30 \times 225 - 30 v_t^2
]
[
6000 = 6750 - 30 v_t^2
]
Перенесем всё в левую сторону:
[
30 v_t^2 = 6750 - 6000
]
[
30 v_t^2 = 750
]
[
v_t^2 = \frac{750}{30} = 25
]
Итак:
[
v_t = \sqrt{25} = 5
]
Ответ:
[
\boxed{5}
]
Скорость течения реки равна 5 км/ч.
