Давайте по порядку решим каждый из заданных вопросов.
1. Выразить вектор (\vec{KO} + \vec{SQ})
Дано: (O) — вершина правильной шестиугольной пирамиды, точки (Q) и (S) — середины боковых ребер, а также точки (K), (C), (F). Вектор (\vec{KO}) — это высота пирамиды, а (\vec{SQ}) — середина бокового ребра.
Без дополнительных данных определить точное выражение сложно, поскольку значения конкретных координат или длины не заданы. Обычно в задачах на их основе предполагается, что (\vec{KO}) и (\vec{SQ}) связаны с высотой и серединой стороны правильного шестиугольника.
Ответ: (\boxed{\vec{KO} + \vec{SQ}}) — это сумма двух векторов, значение зависит от конкретных координат точек.
2. Выражение (3(2 \vec{a} - \vec{b}) - 4(3 \vec{a} + 2 \vec{b}))
Раскроем скобки:
[
3 \times 2 \vec{a} - 3 \times \vec{b} - 4 \times 3 \vec{a} - 4 \times 2 \vec{b} = 6 \vec{a} - 3 \vec{b} - 12 \vec{a} - 8 \vec{b}
]
Объединим подобные члены:
[
(6 \vec{a} - 12 \vec{a}) + (-3 \vec{b} - 8 \vec{b}) = -6 \vec{a} - 11 \vec{b}
]
Ответ:
(\boxed{-6 \vec{a} - 11 \vec{b}})
3. Найти длину вектора
[
\vec{p} = \vec{R}_1 \vec{S}_1 + \vec{S}T + \vec{Q}_1 \vec{Q}
]
Длина ребра куба (a = 6 ). Векторы:
- (\vec{R}_1 \vec{S}_1) — одна грань куба, равна длине ребра, то есть 6.
- (\vec{ST}) — тоже длина ребра — 6.
- (\vec{Q}_1 \vec{Q}) — также длина ребра — 6.
Сумма векторов: (\vec{p}) — это сумма трех векторов по длине, однако, чтобы найти его длину, нужно учитывать угол между ними. Если в предполагаемой задаче предполагается, что эти векторы перпендикулярны, тогда:
[
|\vec{p}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{3 \times 36} = \sqrt{108} = 6 \sqrt{3}
]
Ответ:
(\boxed{6 \sqrt{3}})
4. Найти длину вектора
[
\vec{p} = \vec{C Q} + \vec{C R} + \vec{C S} + \vec{C T}
]
В основании — квадрат со стороной (a=5), а высота пирамиды — (h=9).
Длина каждого вектора от вершины (C) к вершинам основания равна её стороне, то есть 5.
Вектор (\vec{C Q}), (\vec{C R}), (\vec{C S}), (\vec{C T}) — векторы, уходящие к вершинам основания.
Допустим, что вершины равномерно расположены и (p) — сумма их векторов относительно (C).
Изучая геометрию, складываем их в проекции. Итоговая длина:
[
|\vec{p}| = \sqrt{(4 \times 5)^2 + 9^2} \quad \text{(по теореме Пифагора, если они расположены одинаково)} = \sqrt{(20)^2 + 81} = \sqrt{400 + 81} = \sqrt{481}
]
Ответ:
(\boxed{\sqrt{481}})
5. Найти длину вектора (\vec{RT} - \vec{QS})
Даны (QR=7), (RS=24). В прямоугольнике:
[
\vec{RT} = \vec{R} + \text{вектор противоположной стороны}, \quad \text{или по координатам} \quad |\vec{RT}| = 7
]
[
|\vec{QS}| = 24
]
Поскольку (RT) и (QS) — диагонали прямоугольника, без конкретных координат, по теореме Пифагора:
[
|\vec{RT} - \vec{QS}| = \sqrt{(7)^2 + (24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25
]
Ответ:
(\boxed{25})
6. Координаты вектора (\vec{Q T})
[
Q(2, 0, -1), \quad T(5, -3, 7)
]
[
\vec{Q T} = \vec{T} - \vec{Q} = (5 - 2, -3 - 0, 7 - (-1)) = (3, -3, 8)
]
Ответ:
(\boxed{(3, -3, 8)})
7. Длина вектора
[
\vec{p} = {6, -5, \sqrt{83}}
]
Длина:
[
|\vec{p}| = \sqrt{6^2 + (-5)^2 + (\sqrt{83})^2} = \sqrt{36 + 25 + 83} = \sqrt{144} = 12
]
Ответ:
(\boxed{12})
8. Угол между прямыми (q) и (p)
Векторы:
[
\vec{q} = {-3, 4, 0}, \quad \vec{p} = {1, -3, -\sqrt{26}}
]
Косинус угла (\theta):
[
\cos \theta = \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{|\vec{q}| |\vec{p}|}
]
Вычислим скалярное произведение:
[
\vec{q} \cdot \vec{p} = (-3) \times 1 + 4 \times (-3) + 0 \times (-\sqrt{26}) = -3 - 12 + 0 = -15
]
Длины:
[
|\vec{q}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5
]
[
|\vec{p}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (\sqrt{26})^2} = \sqrt{1 + 9 + 26} = \sqrt{36} = 6
]
Следовательно,
[
\cos \theta = \frac{-15}{5 \times 6} = \frac{-15}{30} = - \frac{1}{2}
]
(\theta = \arccos(-1/2) = 120^\circ).
Ответ:
(\boxed{120^\circ})
9. Объем цилиндра (V)
Объем цилиндра:
[
V = \pi r^2 h
]
Рассчет делим на (\pi):
[
\frac{V}{\pi} = r^2 h = 8^2 \times 17 = 64 \times 17 = 1088
]
Ответ:
(\boxed{1088})
Если есть вопросы или нужно дополнительно что-то уточнить, пишите!
