1. O KO — высота правильный шестиугольной пирамиды K A B C D E F KABCDEF, точки Q Q и S S — середины боковых ребер K C KC и K F KF. Какому вектор равен вектор K O → + S Q → KO +…
1. O KO — высота правильный шестиугольной пирамиды K A B C D E F KABCDEF, точки Q Q и S S — середины боковых ребер K C KC и K F KF. Какому вектор равен вектор K O → + S Q → KO + SQ ? 2. Чему равно выражение 3 ( 2 a ⃗ − b ⃗ ) − 4 ( 3 a ⃗ + 2 b ⃗ ) 3(2 a − b )−4(3 a +2 b )? 3. Дан куб Q R S T Q 1 R 1 S 1 T 1 QRSTQ 1 R 1 S 1 T 1 . Найдите длину вектора p ⃗ = R 1 S 1 → + S T → + Q 1 Q → p = R 1 S 1 + ST + Q 1 Q , если длина ребра куба равна 6 Корей из 3 4. Дана правильная четырёхугольная пирамида C Q R S T CQRST с вершиной C C. Найдите длину вектора p ⃗ = C Q → + C R → + C S → + C T → p = CQ + CR + CS + CT , если высота пирамиды равна 9 9, а ребро её основания равно 5 Впишите ответ. 5. Дан прямоугольник Q R S T , Q R = 7 , R S = 24 QRST, QR=7, RS=24. Найдите длину вектора R T → − Q S → RT − QS . Впишите ответ. 6.Найдите координаты вектора Q T → QT , если Q ( 2 ; 0 ; − 1 ) , T ( 5 ; − 3 ; 7 ) Q(2;0;−1), T(5;−3;7). 7.Найдите длину вектора p ⃗ { 6 ; − 5 ; 83 } p {6;−5; Корень из 83 }. 8.Векторы q ⃗ { − 3 ; 4 ; 0 } q {−3;4;0} и p ⃗ { 1 ; − 3 ; − 26 } p {1;−3;− Корень из 26 } — направляющие векторы прямых q q и p p соответственно. Чему равен угол между прямыми q q и p p? 9.Образующая цилиндра равна 17 17 см, радиус его основания 8 8 см. Найдите объём, делённый на π π. 10.
Давайте по порядку решим каждый из заданных вопросов.
1. Выразить вектор \(\vec{KO} + \vec{SQ}\)
Дано: \(O\) — вершина правильной шестиугольной пирамиды, точки \(Q\) и \(S\) — середины боковых ребер, а также точки \(K\), \(C\), \(F\). Вектор \(\vec{KO}\) — это высота пирамиды, а \(\vec{SQ}\) — середина бокового ребра.
Без дополнительных данных определить точное выражение сложно, поскольку значения конкретных координат или длины не заданы. Обычно в задачах на их основе предполагается, что \(\vec{KO}\) и \(\vec{SQ}\) связаны с высотой и серединой стороны правильного шестиугольника.
Ответ: \(\boxed{\vec{KO} + \vec{SQ}}\) — это сумма двух векторов, значение зависит от конкретных координат точек.
2. Выражение \(3(2 \vec{a} - \vec{b}) - 4(3 \vec{a} + 2 \vec{b})\)
Раскроем скобки:
\[ 3 \times 2 \vec{a} - 3 \times \vec{b} - 4 \times 3 \vec{a} - 4 \times 2 \vec{b} = 6 \vec{a} - 3 \vec{b} - 12 \vec{a} - 8 \vec{b} \]
Объединим подобные члены:
\[ (6 \vec{a} - 12 \vec{a}) + (-3 \vec{b} - 8 \vec{b}) = -6 \vec{a} - 11 \vec{b} \]
Ответ:
\(\boxed{-6 \vec{a} - 11 \vec{b}}\)
3. Найти длину вектора
\[ \vec{p} = \vec{R}_1 \vec{S}_1 + \vec{S}T + \vec{Q}_1 \vec{Q} \]
Длина ребра куба \(a = 6 \). Векторы:
- \(\vec{R}_1 \vec{S}_1\) — одна грань куба, равна длине ребра, то есть 6.
- \(\vec{ST}\) — тоже длина ребра — 6.
- \(\vec{Q}_1 \vec{Q}\) — также длина ребра — 6.
Сумма векторов: \(\vec{p}\) — это сумма трех векторов по длине, однако, чтобы найти его длину, нужно учитывать угол между ними. Если в предполагаемой задаче предполагается, что эти векторы перпендикулярны, тогда:
\[ |\vec{p}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{3 \times 36} = \sqrt{108} = 6 \sqrt{3} \]
Ответ:
\(\boxed{6 \sqrt{3}}\)
4. Найти длину вектора
\[ \vec{p} = \vec{C Q} + \vec{C R} + \vec{C S} + \vec{C T} \]
В основании — квадрат со стороной \(a=5\), а высота пирамиды — \(h=9\).
Длина каждого вектора от вершины \(C\) к вершинам основания равна её стороне, то есть 5.
Вектор \(\vec{C Q}\), \(\vec{C R}\), \(\vec{C S}\), \(\vec{C T}\) — векторы, уходящие к вершинам основания.
Допустим, что вершины равномерно расположены и \(p\) — сумма их векторов относительно \(C\).
Изучая геометрию, складываем их в проекции. Итоговая длина:
\[ |\vec{p}| = \sqrt{(4 \times 5)^2 + 9^2} \quad \text{(по теореме Пифагора, если они расположены одинаково)} = \sqrt{(20)^2 + 81} = \sqrt{400 + 81} = \sqrt{481} \]
Ответ:
\(\boxed{\sqrt{481}}\)
5. Найти длину вектора \(\vec{RT} - \vec{QS}\)
Даны \(QR=7\), \(RS=24\). В прямоугольнике:
\[ \vec{RT} = \vec{R} + \text{вектор противоположной стороны}, \quad \text{или по координатам} \quad |\vec{RT}| = 7 \] \[ |\vec{QS}| = 24 \] Поскольку \(RT\) и \(QS\) — диагонали прямоугольника, без конкретных координат, по теореме Пифагора:
\[ |\vec{RT} - \vec{QS}| = \sqrt{(7)^2 + (24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]
Ответ:
\(\boxed{25}\)
6. Координаты вектора \(\vec{Q T}\)
\[ Q(2, 0, -1), \quad T(5, -3, 7) \]
\[ \vec{Q T} = \vec{T} - \vec{Q} = (5 - 2, -3 - 0, 7 - (-1)) = (3, -3, 8) \]
Ответ:
\(\boxed{(3, -3, 8)}\)
7. Длина вектора
\[ \vec{p} = \{6, -5, \sqrt{83}\} \]
Длина:
\[ |\vec{p}| = \sqrt{6^2 + (-5)^2 + (\sqrt{83})^2} = \sqrt{36 + 25 + 83} = \sqrt{144} = 12 \]
Ответ:
\(\boxed{12}\)
8. Угол между прямыми \(q\) и \(p\)
Векторы:
\[ \vec{q} = \{-3, 4, 0\}, \quad \vec{p} = \{1, -3, -\sqrt{26}\} \]
Косинус угла \(\theta\):
\[ \cos \theta = \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{|\vec{q}| |\vec{p}|} \]
Вычислим скалярное произведение:
\[ \vec{q} \cdot \vec{p} = (-3) \times 1 + 4 \times (-3) + 0 \times (-\sqrt{26}) = -3 - 12 + 0 = -15 \]
Длины:
\[ |\vec{q}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]
\[ |\vec{p}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (\sqrt{26})^2} = \sqrt{1 + 9 + 26} = \sqrt{36} = 6 \]
Следовательно,
\[ \cos \theta = \frac{-15}{5 \times 6} = \frac{-15}{30} = - \frac{1}{2} \]
\(\theta = \arccos(-1/2) = 120^\circ\).
Ответ:
\(\boxed{120^\circ}\)
9. Объем цилиндра \(V\)
Объем цилиндра:
\[ V = \pi r^2 h \]
Рассчет делим на \(\pi\):
\[ \frac{V}{\pi} = r^2 h = 8^2 \times 17 = 64 \times 17 = 1088 \]
Ответ:
\(\boxed{1088}\)
Если есть вопросы или нужно дополнительно что-то уточнить, пишите!
