Для каких натуральных значений n верно высказывание: n^2 больше 13, но меньше 80 ?
Давайте рассмотрим задачу пошагово.
Задача:
Для каких натуральных чисел \( n \) верно, что
\[ 13 < n^2 < 80 \]?
Шаг 1: Анализ неравенства
Нам нужно найти все натуральные числа \( n \), такие что их квадрат больше 13 и меньше 80. То есть:
\[ 13 < n^2 < 80 \]
Шаг 2: Решение неравенств отдельно
\( n^2 > 13 \)
\( n^2 < 80 \)
Рассмотрим каждое неравенство отдельно.
Шаг 3: Анализ \( n^2 > 13 \)
Чтобы найти, для каких \( n \) выполняется это неравенство, найдём корень из 13:
\[ n > \sqrt{13} \]
Поскольку \( n \) — натуральное число (1, 2, 3, ...), то
\[ n \geq 4 \]
(так как \( \sqrt{13} \approx 3.6 \), а ближайшее большее натуральное — 4).
Шаг 4: Анализ \( n^2 < 80 \)
Теперь найдём корень из 80:
\[ n < \sqrt{80} \]
Это примерно:
\[ \sqrt{80} \approx 8.94 \]
Так как \( n \) — натуральное, то:
\[ n \leq 8 \]
(так как самое большое натуральное число, не превышающее 8.94 — это 8).
Шаг 5: Объединение условий
Объединяем оба неравенства:
\[ 4 \leq n \leq 8 \]
Потому что для \( n \geq 4 \), \( n^2 > 13 \), а для \( n \leq 8 \), \( n^2 < 80 \).
Шаг 6: Итог
Ответ:
\[
\boxed{
n = 4, 5, 6, 7, 8
}
\]
Все эти натуральные числа удовлетворяют условию.
Если нужно, я могу проверить каждое из них лично.
Например:
- \( n = 4 \Rightarrow 4^2 = 16 \), входит в промежуток (13, 80)
- \( n = 5 \Rightarrow 25 \), входит
- \( n = 6 \Rightarrow 36 \), входит
- \( n = 7 \Rightarrow 49 \), входит
- \( n = 8 \Rightarrow 64 \), входит
Для \( n=3 \), \( 3^2=9 \), не входит, так как 9 не больше 13.
Для \( n=9 \), \( 81 \), не входит, так как 81 не меньше 80.
Ответ:
Для натуральных чисел \( n = 4, 5, 6, 7, 8 \).
