Давайте рассмотрим задачу пошагово.
Задача:
Для каких натуральных чисел ( n ) верно, что
[ 13 < n^2 < 80 ]?
Шаг 1: Анализ неравенства
Нам нужно найти все натуральные числа ( n ), такие что их квадрат больше 13 и меньше 80. То есть:
[
13 < n^2 < 80
]
Шаг 2: Решение неравенств отдельно
( n^2 > 13 )
( n^2 < 80 )
Рассмотрим каждое неравенство отдельно.
Шаг 3: Анализ ( n^2 > 13 )
Чтобы найти, для каких ( n ) выполняется это неравенство, найдём корень из 13:
[
n > \sqrt{13}
]
Поскольку ( n ) — натуральное число (1, 2, 3, ...), то
[
n \geq 4
]
(так как ( \sqrt{13} \approx 3.6 ), а ближайшее большее натуральное — 4).
Шаг 4: Анализ ( n^2 < 80 )
Теперь найдём корень из 80:
[
n < \sqrt{80}
]
Это примерно:
[
\sqrt{80} \approx 8.94
]
Так как ( n ) — натуральное, то:
[
n \leq 8
]
(так как самое большое натуральное число, не превышающее 8.94 — это 8).
Шаг 5: Объединение условий
Объединяем оба неравенства:
[
4 \leq n \leq 8
]
Потому что для ( n \geq 4 ), ( n^2 > 13 ), а для ( n \leq 8 ), ( n^2 < 80 ).
Шаг 6: Итог
Ответ:
[
\boxed{
n = 4, 5, 6, 7, 8
}
]
Все эти натуральные числа удовлетворяют условию.
Если нужно, я могу проверить каждое из них лично.
Например:
- ( n = 4 \Rightarrow 4^2 = 16 ), входит в промежуток (13, 80)
- ( n = 5 \Rightarrow 25 ), входит
- ( n = 6 \Rightarrow 36 ), входит
- ( n = 7 \Rightarrow 49 ), входит
- ( n = 8 \Rightarrow 64 ), входит
Для ( n=3 ), ( 3^2=9 ), не входит, так как 9 не больше 13.
Для ( n=9 ), ( 81 ), не входит, так как 81 не меньше 80.
Ответ:
Для натуральных чисел ( n = 4, 5, 6, 7, 8 ).
