Вычислите: 1) (3P_{12} - P_{11})/(7P_{10}) 2 (A_{5} ^ 2)/(C_{6} ^ 1)

Давайте подробно решим каждое из числовых выражений, чтобы понять, как их вычислять. --- ### 1. Вычислим \(\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}}\) **Определения:** - \(P_{n}k\) — это число вариантов (перестановок), берущих \(k\) элементов из \(n\), формула: \[ P_{n}k = \frac{n!}{(n - k)!} \] --- **Шаг 1: Найдем \(P_{12}\), \(P_{11}\), и \(P_{10}\).** - \(P_{12} = P_{12}12 = \frac{12!}{(12 - 12)!} = \frac{12!}{0!} = 12!\) - \(P_{11} = P_{11}11 = \frac{11!}{(11 - 11)!} = \frac{11!}{0!} = 11!\) - \(P_{10} = P_{10}10 = \frac{10!}{(10 - 10)!} = \frac{10!}{0!} = 10!\) **Шаг 2: Подставим значения в исходное выражение:** \[ \frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}} = \frac{3 \times 12! - 11!}{7 \times 10!} \] --- **Шаг 3: Выразим все в терминах 10! и 11! для удобства:** - \(12! = 12 \times 11 \times 10!\) - \(11! = 11 \times 10!\) Подставим: \[ \frac{3 \times (12 \times 11 \times 10!) - 11 \times 10!}{7 \times 10!} \] **Шаг 4: Вынесем \(10!\) за скобки:** \[ \frac{10! \times (3 \times 12 \times 11 - 11)}{7 \times 10!} \] \[ = \frac{\cancel{10!} \times (3 \times 12 \times 11 - 11)}{7 \times \cancel{10!}} \] **Шаг 5: Посчитаем числитель:** \[ 3 \times 12 \times 11 - 11 = (3 \times 12 \times 11) - 11 \] Вычислим: - \(3 \times 12 = 36\) - \(36 \times 11 = 396\) Значит: \[ 396 - 11 = 385 \] --- **Ответ по первой задаче:** \[ \boxed{\frac{385}{7} = 55} \] --- ### 2. Вычислим \(\frac{A_5^2}{C_6^1}\) **Обозначения:** - \(A_n^k\) — это число arrangements (размещение) — то же, что permutations: \[ A_n^k = P_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} \] - \(C_n^k\) — это число сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] --- **Шаг 1: Найдем \(A_5^2\).** \[ A_5^2 = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20 \] **Шаг 2: Найдем \(C_6^1\).** \[ C_6^1 = \frac{6!}{1! \times 5!} = \frac{720}{1 \times 120} = 6 \] **Шаг 3: Подставим в выражение:** \[ \frac{A_5^2}{C_6^1} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \] --- ### Итоговые ответы: 1. \(\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}} = \boxed{55}\) 2. \(\frac{A_5^2}{C_6^1} = \boxed{\frac{10}{3}}\) Если нужно, могу дополнительно пояснить каждый шаг или оформить решение по-другому!