Вычислите: 1) (3P_{12} - P_{11})/(7P_{10}) 2 (A_{5} ^ 2)/(C_{6} ^ 1)

Давайте подробно решим каждое из числовых выражений, чтобы понять, как их вычислять.

---

1. Вычислим \(\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}}\)

Определения:

• \(P_{n}k\) — это число вариантов (перестановок), берущих \(k\) элементов из \(n\), формула:
  \[ P_{n}k = \frac{n!}{(n - k)!} \]

---

Шаг 1: Найдем \(P_{12}\), \(P_{11}\), и \(P_{10}\).

• \(P_{12} = P_{12}12 = \frac{12!}{(12 - 12)!} = \frac{12!}{0!} = 12!\)
• \(P_{11} = P_{11}11 = \frac{11!}{(11 - 11)!} = \frac{11!}{0!} = 11!\)
• \(P_{10} = P_{10}10 = \frac{10!}{(10 - 10)!} = \frac{10!}{0!} = 10!\)

Шаг 2: Подставим значения в исходное выражение:

\[ \frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}} = \frac{3 \times 12! - 11!}{7 \times 10!} \]

---

Шаг 3: Выразим все в терминах 10! и 11! для удобства:

• \(12! = 12 \times 11 \times 10!\)
• \(11! = 11 \times 10!\)

Подставим:

\[ \frac{3 \times (12 \times 11 \times 10!) - 11 \times 10!}{7 \times 10!} \]

Шаг 4: Вынесем \(10!\) за скобки:

\[ \frac{10! \times (3 \times 12 \times 11 - 11)}{7 \times 10!} \]

\[ = \frac{\cancel{10!} \times (3 \times 12 \times 11 - 11)}{7 \times \cancel{10!}} \]

Шаг 5: Посчитаем числитель:

\[ 3 \times 12 \times 11 - 11 = (3 \times 12 \times 11) - 11 \]

Вычислим:

• \(3 \times 12 = 36\)
• \(36 \times 11 = 396\)

Значит:

\[ 396 - 11 = 385 \]

---

Ответ по первой задаче:

\[ \boxed{\frac{385}{7} = 55} \]

---

2. Вычислим \(\frac{A_5^2}{C_6^1}\)

Обозначения:

• \(A_n^k\) — это число arrangements (размещение) — то же, что permutations:
  \[ A_n^k = P_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} \]
• \(C_n^k\) — это число сочетаний:
  \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

---

Шаг 1: Найдем \(A_5^2\).

\[ A_5^2 = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20 \]

Шаг 2: Найдем \(C_6^1\).

\[ C_6^1 = \frac{6!}{1! \times 5!} = \frac{720}{1 \times 120} = 6 \]

Шаг 3: Подставим в выражение:

\[ \frac{A_5^2}{C_6^1} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \]

---

Итоговые ответы:

1. \(\frac{3P_{12} - P_{11}}{7P_{10}} = \boxed{55}\)
2. \(\frac{A_5^2}{C_6^1} = \boxed{\frac{10}{3}}\)

Если нужно, могу дополнительно пояснить каждый шаг или оформить решение по-другому!