Рассмотрим выражение:
[
\frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1}
]
Шаг 1: Найдем общий знаменатель
Общий знаменатель — это произведение двух знаменателей:
[
(2m - 1)(2m + 1)
]
Шаг 2: Приведем каждую дробь к общему знаменателю
Первая дробь умножается числитель и знаменатель на (2m + 1):
[
\frac{(2m + 1) \times (2m + 1)}{(2m - 1)(2m + 1)} = \frac{(2m + 1)^2}{(2m - 1)(2m + 1)}
]
Вторая дробь умножается числитель и знаменатель на (2m - 1):
[
\frac{(2m - 1) \times (2m - 1)}{(2m + 1)(2m - 1)} = \frac{(2m - 1)^2}{(2m + 1)(2m - 1)}
]
Шаг 3: Выпишем полученные дроби
[
\frac{(2m + 1)^2 - (2m - 1)^2}{(2m - 1)(2m + 1)}
]
Шаг 4: Раскроем скобки в числителе
Используем формулу квадрата разности и квадрата суммы:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
]
Значит:
[
(2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1
]
[
(2m - 1)^2 = 4m^2 - 4m + 1
]
Шаг 5: Вычтем два квадрата
[
(4m^2 + 4m + 1) - (4m^2 - 4m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 4m - 1
]
Упростим:
[
4m^2 - 4m^2 + 4m + 4m + 1 - 1 = 8m
]
Шаг 6: Итоговое выражение
Итак, числитель — это (8m), а знаменатель — это ((2m - 1)(2m + 1)). Но заметно, что:
[
(2m - 1)(2m + 1) = (2m)^2 - 1^2 = 4m^2 - 1
]
Ответ:
[
\frac{8m}{4m^2 - 1}
]
Это — окончательная упрощенная форма выражения.
