2m+1/2m-1 - 2m-1/2m+1

Рассмотрим выражение:

\[ \frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1} \]

Шаг 1: Найдем общий знаменатель

Общий знаменатель — это произведение двух знаменателей:

\[ (2m - 1)(2m + 1) \]

Шаг 2: Приведем каждую дробь к общему знаменателю

Первая дробь умножается числитель и знаменатель на \(2m + 1\):

\[ \frac{(2m + 1) \times (2m + 1)}{(2m - 1)(2m + 1)} = \frac{(2m + 1)^2}{(2m - 1)(2m + 1)} \]

Вторая дробь умножается числитель и знаменатель на \(2m - 1\):

\[ \frac{(2m - 1) \times (2m - 1)}{(2m + 1)(2m - 1)} = \frac{(2m - 1)^2}{(2m + 1)(2m - 1)} \]

Шаг 3: Выпишем полученные дроби

\[ \frac{(2m + 1)^2 - (2m - 1)^2}{(2m - 1)(2m + 1)} \]

Шаг 4: Раскроем скобки в числителе

Используем формулу квадрата разности и квадрата суммы:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Значит:

\[ (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 \] \[ (2m - 1)^2 = 4m^2 - 4m + 1 \]

Шаг 5: Вычтем два квадрата

\[ (4m^2 + 4m + 1) - (4m^2 - 4m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 4m - 1 \]

Упростим:

\[ 4m^2 - 4m^2 + 4m + 4m + 1 - 1 = 8m \]

Шаг 6: Итоговое выражение

Итак, числитель — это \(8m\), а знаменатель — это \((2m - 1)(2m + 1)\). Но заметно, что:

\[ (2m - 1)(2m + 1) = (2m)^2 - 1^2 = 4m^2 - 1 \]

Ответ:

\[ \frac{8m}{4m^2 - 1} \]

Это — окончательная упрощенная форма выражения.