Углублённый уровень. Домашняя работа Задача 1. Дана система уравнений 2.x + 3y = 15, - 5y = 2. Выразите одну переменную через другую из этой системы четырьмя способами. Задача 2.…

Конечно! Ниже я подготовил подробные решения всех задач.

---

Задача 1. Дана система уравнений:

\[ 2x + 3y = 15 \quad (1) \] \[ -5y = 2 \quad (2) \]

Цель: выразить одну переменную через другую четырьмя способами.

---

Решение:

Способ 1. Выражение через \( y \) из уравнения (2):

Из уравнения (2): \[ -5y = 2 \implies y = -\frac{2}{5} \]

Способ 2. Выражение через \( x \) из уравнения (1):

\[ 2x + 3y = 15 \implies 2x = 15 - 3y \implies x = \frac{15 - 3y}{2} \]

При известном \( y \), можно выразить \( x \).

Способ 3. Выразить \( y \) через \( x \) методом подстановки:

Подставим \( y = -\frac{2}{5} \) из уравнения (2) в уравнение (1):

\[ 2x + 3 \left(-\frac{2}{5}\right) = 15 \] \[ 2x - \frac{6}{5} = 15 \] \[ 2x = 15 + \frac{6}{5} = \frac{75}{5} + \frac{6}{5} = \frac{81}{5} \] \[ x = \frac{81}{10} \] Но для данного варианта выражения ключевым является, что мы можем выразить \( y \) через \( x \) так:

Из уравнения (1):

\[ 3y = 15 - 2x \implies y = \frac{15 - 2x}{3} \]

Способ 4. Выразить \( x \) через \( y \):

Из уравнения (1):

\[ 2x = 15 - 3y \implies x = \frac{15 - 3y}{2} \]

---

Задача 2. Решите систему методом подстановки:

\[ 3r + 8y = 43 \quad (1) \] \[ 3r - 5y = 17 \quad (2) \]

Шаг 1. Выразим \( r \) из уравнения (2):

\[ 3r = 17 + 5y \implies r = \frac{17 + 5y}{3} \]

Шаг 2. Подставим выражение для \( r \) в уравнение (1):

\[ 3 \cdot \frac{17 + 5y}{3} + 8y = 43 \] \[ 17 + 5y + 8y = 43 \] \[ 17 + 13y = 43 \] \[ 13y = 43 - 17 = 26 \] \[ y = 2 \]

Шаг 3. Найдём \( r \):

\[ r = \frac{17 + 5 \times 2}{3} = \frac{17 + 10}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]

Ответ: \( r = 9 \), \( y=2 \).

---

Задача 3. Решите систему уравнений:

\[ 5r - 4y = -1 \quad (1) \] \[ 3y - 2r = 6 \quad (2) \]

Шаг 1. Выразим \( y \) из уравнения (2):

\[ 3y = 6 + 2r \implies y = \frac{6 + 2r}{3} \]

Шаг 2. Подставим в уравнение (1):

\[ 5r - 4 \cdot \frac{6 + 2r}{3} = -1 \] \[ 5r - \frac{4(6 + 2r)}{3} = -1 \] умножим всё на 3 для устранения дробей:

\[ 3 \times 5r - 4(6 + 2r) = -3 \] \[ 15r - 24 - 8r = -3 \] \[ (15r - 8r) - 24 = -3 \] \[ 7r - 24 = -3 \] \[ 7r = 21 \] \[ r = 3 \]

Шаг 3. Найдём \( y \):

\[ y = \frac{6 + 2 \times 3}{3} = \frac{6 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

Ответ: \( r=3 \), \( y=4 \).

---

Задача 4. Решите методом подстановки систему уравнений:

\[ a r - 3 y = 5 \quad (1) \] \[ -4x + 12 y = 20 \quad (2) \]

Обратите внимание, что во второй системе переменная \( x \), а в первой — \( r \). Эти переменные, кажется, находятся в разных уравнениях, возможно, опечатка? Пусть я предположу, что в первой системе переменная \( r \), а во второй — \( x \). Тогда, по условию, надо решить систему:

или возможно, переменная во втором уравнении — это \( x \), и они одновременно с \( r \). Тогда подготовим ответ:

Если предположить, что \( a r - 3 y = 5 \) и \( -4x + 12 y = 20 \).

Здесь разные переменные: \( r, y \) в первом уравнении и \( x, y \) во втором. Тогда решение зависит от контекста — так как условие указало "подстановки", возможно, в первом уравнении \( r \) — функция \( a \) и переменная \( r \), во втором — \( x \). В этом случае, так как переменные разные, условие, возможно, некорректно. Предположим, что во втором уравнении должна быть переменная \( r \):

Перепишем уравнение (2) так, чтобы было:

\[ -4 x + 12 y = 20 \]

или, если предположить, что \( x \) и \( r \) связаны, чтобы дать смысл, лучше уточнить.

Если нужно решить систему с одинаковыми переменными, вероятно, в условии есть опечатка, или же это отдельные уравнения, не связанные между собой, тогда не нужно их решать.

Пожалуйста, уточните, вторая система уравнений полностью или есть опечатка?

---

Задача 5. В двух шкафах стоят книги.

• Перестановка из первого шкафа во второй 20 книг: в обоих шкафах книг становится поровну.
• Перестановка из второго шкафа в первый 50 книг: в первом шкафу станет в 2 раза больше книг, чем во втором.

Обозначим:

• \( x \) — количество книг в первом шкафе.
• \( y \) — количество книг во втором шкафе.

---

Условие 1:

Если из первого шкафа перенести 20 книг во второй, то в обоих шкафах станет поровну.

Запишем:

\[ x - 20 = y + 20 \] \[ x - 20 = y + 20 \] \[ x - y = 40 \quad (1) \]

---

Условие 2:

Если из второго шкафа перенести 50 книг в первый, то в первом шкафу станет в 2 раза больше книг, чем во втором.

Запишем:

\[ x + 50 = 2 ( y - 50 ) \] \[ x + 50 = 2y - 100 \] \[ x - 2y = -150 \quad (2) \]

---

Решение системы:

Уравнения:

\[ x - y = 40 \quad (1) \] \[ x - 2y = -150 \quad (2) \]

Вычитая (1) из (2):

\[ (x - 2y) - (x - y) = -150 - 40 \] \[ x - 2y - x + y = -190 \] \[ - y = -190 \] \[ y = 190 \]

Подставим \( y = 190 \) в уравнение (1):

\[ x - 190 = 40 \implies x = 230 \]

Ответ: В первом шкафу — 230 книг, во втором — 190 книг.

---

Если есть дополнительные вопросы или уточнения — обращайтесь!