Конечно! Ниже я подготовил подробные решения всех задач.
Задача 1. Дана система уравнений:
[
2x + 3y = 15 \quad (1)
]
[
-5y = 2 \quad (2)
]
Цель: выразить одну переменную через другую четырьмя способами.
Решение:
Способ 1. Выражение через ( y ) из уравнения (2):
Из уравнения (2):
[
-5y = 2 \implies y = -\frac{2}{5}
]
Способ 2. Выражение через ( x ) из уравнения (1):
[
2x + 3y = 15 \implies 2x = 15 - 3y \implies x = \frac{15 - 3y}{2}
]
При известном ( y ), можно выразить ( x ).
Способ 3. Выразить ( y ) через ( x ) методом подстановки:
Подставим ( y = -\frac{2}{5} ) из уравнения (2) в уравнение (1):
[
2x + 3 \left(-\frac{2}{5}\right) = 15
]
[
2x - \frac{6}{5} = 15
]
[
2x = 15 + \frac{6}{5} = \frac{75}{5} + \frac{6}{5} = \frac{81}{5}
]
[
x = \frac{81}{10}
]
Но для данного варианта выражения ключевым является, что мы можем выразить ( y ) через ( x ) так:
Из уравнения (1):
[
3y = 15 - 2x \implies y = \frac{15 - 2x}{3}
]
Способ 4. Выразить ( x ) через ( y ):
Из уравнения (1):
[
2x = 15 - 3y \implies x = \frac{15 - 3y}{2}
]
Задача 2. Решите систему методом подстановки:
[
3r + 8y = 43 \quad (1)
]
[
3r - 5y = 17 \quad (2)
]
Шаг 1. Выразим ( r ) из уравнения (2):
[
3r = 17 + 5y \implies r = \frac{17 + 5y}{3}
]
Шаг 2. Подставим выражение для ( r ) в уравнение (1):
[
3 \cdot \frac{17 + 5y}{3} + 8y = 43
]
[
17 + 5y + 8y = 43
]
[
17 + 13y = 43
]
[
13y = 43 - 17 = 26
]
[
y = 2
]
Шаг 3. Найдём ( r ):
[
r = \frac{17 + 5 \times 2}{3} = \frac{17 + 10}{3} = \frac{27}{3} = 9
]
Ответ: ( r = 9 ), ( y=2 ).
Задача 3. Решите систему уравнений:
[
5r - 4y = -1 \quad (1)
]
[
3y - 2r = 6 \quad (2)
]
Шаг 1. Выразим ( y ) из уравнения (2):
[
3y = 6 + 2r \implies y = \frac{6 + 2r}{3}
]
Шаг 2. Подставим в уравнение (1):
[
5r - 4 \cdot \frac{6 + 2r}{3} = -1
]
[
5r - \frac{4(6 + 2r)}{3} = -1
]
умножим всё на 3 для устранения дробей:
[
3 \times 5r - 4(6 + 2r) = -3
]
[
15r - 24 - 8r = -3
]
[
(15r - 8r) - 24 = -3
]
[
7r - 24 = -3
]
[
7r = 21
]
[
r = 3
]
Шаг 3. Найдём ( y ):
[
y = \frac{6 + 2 \times 3}{3} = \frac{6 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4
]
Ответ: ( r=3 ), ( y=4 ).
Задача 4. Решите методом подстановки систему уравнений:
[
a r - 3 y = 5 \quad (1)
]
[
-4x + 12 y = 20 \quad (2)
]
Обратите внимание, что во второй системе переменная ( x ), а в первой — ( r ). Эти переменные, кажется, находятся в разных уравнениях, возможно, опечатка? Пусть я предположу, что в первой системе переменная ( r ), а во второй — ( x ). Тогда, по условию, надо решить систему:
или возможно, переменная во втором уравнении — это ( x ), и они одновременно с ( r ). Тогда подготовим ответ:
Если предположить, что ( a r - 3 y = 5 ) и ( -4x + 12 y = 20 ).
Здесь разные переменные: ( r, y ) в первом уравнении и ( x, y ) во втором. Тогда решение зависит от контекста — так как условие указало "подстановки", возможно, в первом уравнении ( r ) — функция ( a ) и переменная ( r ), во втором — ( x ). В этом случае, так как переменные разные, условие, возможно, некорректно. Предположим, что во втором уравнении должна быть переменная ( r ):
Перепишем уравнение (2) так, чтобы было:
[
-4 x + 12 y = 20
]
или, если предположить, что ( x ) и ( r ) связаны, чтобы дать смысл, лучше уточнить.
Если нужно решить систему с одинаковыми переменными, вероятно, в условии есть опечатка, или же это отдельные уравнения, не связанные между собой, тогда не нужно их решать.
Пожалуйста, уточните, вторая система уравнений полностью или есть опечатка?
Задача 5. В двух шкафах стоят книги.
- Перестановка из первого шкафа во второй 20 книг: в обоих шкафах книг становится поровну.
- Перестановка из второго шкафа в первый 50 книг: в первом шкафу станет в 2 раза больше книг, чем во втором.
Обозначим:
- ( x ) — количество книг в первом шкафе.
- ( y ) — количество книг во втором шкафе.
Условие 1:
Если из первого шкафа перенести 20 книг во второй, то в обоих шкафах станет поровну.
Запишем:
[
x - 20 = y + 20
]
[
x - 20 = y + 20
]
[
x - y = 40 \quad (1)
]
Условие 2:
Если из второго шкафа перенести 50 книг в первый, то в первом шкафу станет в 2 раза больше книг, чем во втором.
Запишем:
[
x + 50 = 2 ( y - 50 )
]
[
x + 50 = 2y - 100
]
[
x - 2y = -150 \quad (2)
]
Решение системы:
Уравнения:
[
x - y = 40 \quad (1)
]
[
x - 2y = -150 \quad (2)
]
Вычитая (1) из (2):
[
(x - 2y) - (x - y) = -150 - 40
]
[
x - 2y - x + y = -190
]
[
Подставим ( y = 190 ) в уравнение (1):
[
x - 190 = 40 \implies x = 230
]
Ответ: В первом шкафу — 230 книг, во втором — 190 книг.
Если есть дополнительные вопросы или уточнения — обращайтесь!
