Давайте подробно разберём задачу шаг за шагом.

В условии:

• Имеется треугольник \( MNK \),
• Внутри треугольника вписана окружность, касающаяся сторон в точках \( S \), \( D \), и \( F \),
• Обозначены длины от точек касания до некоторых точек: \( MS = 13{,}5 \), \( ND = 15{,}7 \), \( KF = 23{,}1 \).

Что нужно найти:

• Периметр треугольника \( MNK \).

---

1. Важные обозначения и свойства

Пусть:

• \( r \) — радиус вписанной окружности,
• \( I \) — точка центра вписанной окружности.

Свойства касания окружности и сторон

• Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках \( S \), \( D \), и \( F \).

• Обозначим стороны треугольника:

  • \( a = MN \),
  • \( b = NK \),
  • \( c = KM \).

• Пусть:

  • \( S \) — точка касания стороны \( MN \),
  • \( D \) — точка касания стороны \( NK \),
  • \( F \) — точка касания стороны \( KM \).

Свойства точек касания

• Известно, что:

  • От данных точек касания до вершин треугольника связаны с длинами сторон.

• Вписанная окружность касается каждой стороны в точке, и сегменты, соединяющие вершины с точками касания, равны по длине и связаны с полуторами сторон.

---

2. Анализ данных

Обозначим:

• \( MS = a_1 \),
• \( ND = a_2 \),
• \( KF = a_3 \).

Из условия:

• \( MS = 13,5 \),
• \( ND = 15,7 \),
• \( KF = 23,1 \).

Значит, эти величины — это длины от точек касания до вершин.

---

3. Связь между длинами и сторонами

Если:

• \( s \) — полупериметр треугольника \( s = \frac{a + b + c}{2} \),
• \( s_a = s - a \),
• \( s_b = s - b \),
• \( s_c = s - c \).

Вписанная окружность делит стороны следующим образом:

• (например, сторона \( MN = a \)):
  • Отточки касания делят сторону \( MN \) на две части,
  • При этом, длины от точек касания до вершин связаны с \( s_a, s_b, s_c \).

Из свойств:

• длина сегмента \( MS \) — это \( s - b \),
• длина сегмента \( ND \) — это \( s - c \),
• длина сегмента \( KF \) — это \( s - a \).

Следовательно: \[ s - a = 13.5, \] \[ s - b = 15.7, \] \[ s - c = 23.1. \]

---

4. Находим стороны

Выражения для сторон: \[ a = s - (s - a) = s - 13.5, \] \[ b = s - 15.7, \] \[ c = s - 23.1. \]

Но у нас есть три уравнения для сторон, связанного с полупериметром \( s \): \[ a = s - 13.5, \] \[ b = s - 15.7, \] \[ c = s - 23.1. \]

---

5. Находим \( s \)

Сумма сторон: \[ a + b + c = (s - 13.5) + (s - 15.7) + (s - 23.1) = 3s - (13.5 + 15.7 + 23.1). \]

Вычислим сумму: \[ 13.5 + 15.7 + 23.1 = 52.3. \]

Значит: \[ a + b + c = 3s - 52.3. \]

Но по определению: \[ a + b + c = 2s, \] по определению полупериметра.

Следовательно: \[ 2s = 3s - 52.3, \]

решая для \( s \): \[ 3s - 2s = 52.3, \] \[ s = 52.3. \]

6. Находим стороны

Подставляя \( s = 52.3 \): \[ a = 52.3 - 13.5 = 38.8, \] \[ b = 52.3 - 15.7 = 36.6, \] \[ c = 52.3 - 23.1 = 29.2. \]

---

7. Итог: периметр треугольника

Периметр: \[ P = a + b + c = 38.8 + 36.6 + 29.2 = 104.6. \]

---

Ответ:

Периметр треугольника \( MNK \) равен \(\boxed{104,6}\).