Давайте подробно разберём задачу шаг за шагом. ### В условии: - Имеется треугольник \( MNK \), - Внутри треугольника вписана окружность, касающаяся сторон в точках \( S \), \( D \), и \( F \), - Обозначены длины от точек касания до некоторых точек: \( MS = 13{,}5 \), \( ND = 15{,}7 \), \( KF = 23{,}1 \). ### Что нужно найти: - Периметр треугольника \( MNK \). --- ## 1. Важные обозначения и свойства Пусть: - \( r \) — радиус вписанной окружности, - \( I \) — точка центра вписанной окружности. ### Свойства касания окружности и сторон - Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках \( S \), \( D \), и \( F \). - Обозначим стороны треугольника: - \( a = MN \), - \( b = NK \), - \( c = KM \). - Пусть: - \( S \) — точка касания стороны \( MN \), - \( D \) — точка касания стороны \( NK \), - \( F \) — точка касания стороны \( KM \). ### Свойства точек касания - Известно, что: - От данных точек касания до вершин треугольника связаны с длинами сторон. - Вписанная окружность касается каждой стороны в точке, и сегменты, соединяющие вершины с точками касания, равны по длине и связаны с полуторами сторон. --- ## 2. Анализ данных Обозначим: - \( MS = a_1 \), - \( ND = a_2 \), - \( KF = a_3 \). Из условия: - \( MS = 13,5 \), - \( ND = 15,7 \), - \( KF = 23,1 \). Значит, эти величины — это длины от точек касания до вершин. --- ## 3. Связь между длинами и сторонами Если: - \( s \) — полупериметр треугольника \( s = \frac{a + b + c}{2} \), - \( s_a = s - a \), - \( s_b = s - b \), - \( s_c = s - c \). Вписанная окружность делит стороны следующим образом: - (например, сторона \( MN = a \)): - Отточки касания делят сторону \( MN \) на две части, - При этом, длины от точек касания до вершин связаны с \( s_a, s_b, s_c \). Из свойств: - длина сегмента \( MS \) — это \( s - b \), - длина сегмента \( ND \) — это \( s - c \), - длина сегмента \( KF \) — это \( s - a \). Следовательно: \[ s - a = 13.5, \] \[ s - b = 15.7, \] \[ s - c = 23.1. \] --- ## 4. Находим стороны Выражения для сторон: \[ a = s - (s - a) = s - 13.5, \] \[ b = s - 15.7, \] \[ c = s - 23.1. \] Но у нас есть три уравнения для сторон, связанного с полупериметром \( s \): \[ a = s - 13.5, \] \[ b = s - 15.7, \] \[ c = s - 23.1. \] --- ## 5. Находим \( s \) Сумма сторон: \[ a + b + c = (s - 13.5) + (s - 15.7) + (s - 23.1) = 3s - (13.5 + 15.7 + 23.1). \] Вычислим сумму: \[ 13.5 + 15.7 + 23.1 = 52.3. \] Значит: \[ a + b + c = 3s - 52.3. \] Но по определению: \[ a + b + c = 2s, \] по определению полупериметра. Следовательно: \[ 2s = 3s - 52.3, \] решая для \( s \): \[ 3s - 2s = 52.3, \] \[ s = 52.3. \] ## 6. Находим стороны Подставляя \( s = 52.3 \): \[ a = 52.3 - 13.5 = 38.8, \] \[ b = 52.3 - 15.7 = 36.6, \] \[ c = 52.3 - 23.1 = 29.2. \] --- ## 7. Итог: периметр треугольника Периметр: \[ P = a + b + c = 38.8 + 36.6 + 29.2 = 104.6. \] --- # **Ответ:** **Периметр треугольника \( MNK \) равен \(\boxed{104,6}\).**