Определи, чему равен периметр прямоугольного треугольника, если гипотенуза этого треугольника равна 37 см, а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 5 см
Рассмотрим задачу: нам нужно найти периметр прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 37 см, а радиус вписанной окружности (بو) равен 5 см.
Обозначения:
- Обозначим катеты треугольника как \( a \) и \( b \).
- Гипотенуза: \( c = 37 \) см.
- Радиус вписанной окружности: \( r = 5 \) см.
Шаг 1: Связь радиуса вписанной окружности с треугольником
Для прямоугольного треугольника существует формула для радиуса вписанной окружности:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
Это происходит потому, что для любого треугольника:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( S \) — площадь, а \( p \) — полупериметр. В случае прямоугольного треугольника площадь равна:
\[ S = \frac{a \times b}{2} \]
И полупериметр:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]
Но для прямоугольного треугольника проще воспользоваться именно формулой:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
Шаг 2: Запишем уравнение с известными данными
Подставим \( r = 5 \), \( c = 37 \):
\[ 5 = \frac{a + b - 37}{2} \]
Умножим обе части на 2:
\[ 10 = a + b - 37 \]
Отсюда:
\[ a + b = 47 \]
Шаг 3: Используем теорему Пифагора
Так как треугольник прямоугольный:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 37^2 = 1369 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} a + b = 47 \\ a^2 + b^2 = 1369 \end{cases} \]
Шаг 4: Найдём \( a \) и \( b \)
Из первого уравнения выразим \( b \):
\[ b = 47 - a \]
Подставим в уравнение Пифагора:
\[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369 \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (2209 - 94a + a^2) = 1369 \]
Объединим подобные:
\[ a^2 + 2209 - 94a + a^2 = 1369 \]
\[ 2a^2 - 94a + 2209 = 1369 \]
Вычтем 1369 из обеих частей:
\[ 2a^2 - 94a + (2209 - 1369) = 0 \]
\[ 2a^2 - 94a + 840 = 0 \]
Разделим всё на 2:
\[ a^2 - 47a + 420 = 0 \]
Шаг 5: Решим полученное квадратное уравнение
Используем формулу:
\[ a = \frac{47 \pm \sqrt{47^2 - 4 \times 1 \times 420}}{2} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ D = 47^2 - 4 \times 420 = 2209 - 1680 = 529 \]
Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \]
Теперь найдём корни:
\[ a = \frac{47 \pm 23}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \( a = \frac{47 + 23}{2} = \frac{70}{2} = 35 \)
- \( a = \frac{47 - 23}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
Соответственно, для \( a \):
- если \( a = 35 \), тогда \( b = 47 - 35 = 12 \),
- если \( a = 12 \), тогда \( b = 47 - 12 = 35 \).
Итак, катеты: 12 и 35.
Шаг 6: Найдём периметр
Периметр равен:
\[ P = a + b + c = 12 + 35 + 37 = 84 \text{ см} \]
Ответ:
Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см.
