Определи, чему равен периметр прямоугольного треугольника, если гипотенуза этого треугольника равна 37 см, а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 5 см

Рассмотрим задачу: нам нужно найти периметр прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 37 см, а радиус вписанной окружности (بو) равен 5 см. Обозначения: - Обозначим катеты треугольника как \( a \) и \( b \). - Гипотенуза: \( c = 37 \) см. - Радиус вписанной окружности: \( r = 5 \) см. --- ### Шаг 1: Связь радиуса вписанной окружности с треугольником Для прямоугольного треугольника существует формула для радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Это происходит потому, что для любого треугольника: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь, а \( p \) — полупериметр. В случае прямоугольного треугольника площадь равна: \[ S = \frac{a \times b}{2} \] И полупериметр: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] Но для прямоугольного треугольника проще воспользоваться именно формулой: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] --- ### Шаг 2: Запишем уравнение с известными данными Подставим \( r = 5 \), \( c = 37 \): \[ 5 = \frac{a + b - 37}{2} \] Умножим обе части на 2: \[ 10 = a + b - 37 \] Отсюда: \[ a + b = 47 \] --- ### Шаг 3: Используем теорему Пифагора Так как треугольник прямоугольный: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 37^2 = 1369 \] Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 47 \\ a^2 + b^2 = 1369 \end{cases} \] --- ### Шаг 4: Найдём \( a \) и \( b \) Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 47 - a \] Подставим в уравнение Пифагора: \[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (2209 - 94a + a^2) = 1369 \] Объединим подобные: \[ a^2 + 2209 - 94a + a^2 = 1369 \] \[ 2a^2 - 94a + 2209 = 1369 \] Вычтем 1369 из обеих частей: \[ 2a^2 - 94a + (2209 - 1369) = 0 \] \[ 2a^2 - 94a + 840 = 0 \] Разделим всё на 2: \[ a^2 - 47a + 420 = 0 \] --- ### Шаг 5: Решим полученное квадратное уравнение Используем формулу: \[ a = \frac{47 \pm \sqrt{47^2 - 4 \times 1 \times 420}}{2} \] Посчитаем дискриминант: \[ D = 47^2 - 4 \times 420 = 2209 - 1680 = 529 \] Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \] Теперь найдём корни: \[ a = \frac{47 \pm 23}{2} \] Рассмотрим оба варианта: 1. \( a = \frac{47 + 23}{2} = \frac{70}{2} = 35 \) 2. \( a = \frac{47 - 23}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) Соответственно, для \( a \): - если \( a = 35 \), тогда \( b = 47 - 35 = 12 \), - если \( a = 12 \), тогда \( b = 47 - 12 = 35 \). Итак, катеты: 12 и 35. --- ### **Шаг 6: Найдём периметр** Периметр равен: \[ P = a + b + c = 12 + 35 + 37 = 84 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** **Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см.**