В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH-высота,AB=90,sin A=2/3.Найдите длину отрезка BH
Дано:
- \( \triangle ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \),
- \( CH \) — высота на гипотенузу \( AB \),
- \( AB = 90 \),
- \( \sin A = \frac{2}{3} \).
Задача: найти длину отрезка \( BH \).
Шаг 1. Найдём стороны треугольника
Так как \( \angle C \) — прямой, то \( AB \) — гипотенуза, а \( AC \) и \( BC \) — катеты.
Известно: \[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\hypotenuse} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3} \] и \[ AB = 90 \] тогда \[ BC = \frac{2}{3} \times 90 = 60 \] Также, по теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{90^2 - 60^2} = \sqrt{8100 - 3600} = \sqrt{4500} = 30 \sqrt{5} \]
Шаг 2. Найдём угол \(A\)
Теперь, используя \( \sin A = \frac{2}{3} \), найдём \( \cos A \):
\[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Шаг 3. Определим точки и высоту \(CH\)
- \( H \) — основание высоты, опущенной из \( C \) на гипотенузу \( AB \).
Обозначим:
- \( A = (0,0) \),
- \( B = (90,0) \),
- \( C \) — по координатам вычислим, исходя из углов.
Но проще, основано на соотношениях сторон, найти точку \( H \).
Пусть \( H \) — точка на \( AB \), координаты \( (x_H, 0) \).
Шаг 4. Геометрическое расположение точек
- \( C \) — точка, которая по стороне \( BC = 60 \) и \( AC = 30 \sqrt{5} \).
Из предыдущих вычислений, можно найти координаты \( C \):
- Так как \( \angle C = 90^\circ \), то \( C \) — точка, стоящая так, что:
\[ AC \text{ и } BC \text{ — катеты }. \]
Мы можем установить координаты:
\[ A = (0,0), \] \[ B = (90,0), \] и найти \( C = (x_C, y_C) \), который находится на расстоянии \( AC \) от \( A \):
\[ |AC| = 30 \sqrt{5} \] и на расстоянии \( BC = 60 \) от \( B \):
\[ |BC| = 60. \]
Рассмотрим систему:
\[ (x_C - 0)^2 + (y_C - 0)^2 = (30 \sqrt{5})^2 = 4500, \] \[ (x_C - 90)^2 + y_C^2 = 3600. \]
Вычитая второе уравнение из первого:
\[ x_C^2 + y_C^2 - [(x_C - 90)^2 + y_C^2] = 4500 - 3600, \] \[ x_C^2 - (x_C^2 - 180 x_C + 8100) = 900, \] \[ 180 x_C - 8100 = 900, \] \[ 180 x_C = 900 + 8100 = 9000, \] \[ x_C = \frac{9000}{180} = 50. \]
Подставляем \( x_C = 50 \):
\[ (50)^2 + y_C^2 = 4500, \] \[ 2500 + y_C^2 = 4500, \] \[ y_C^2 = 2000, \] \[ y_C = \pm \sqrt{2000} = \pm 20 \sqrt{5}. \]
Возьмем положительный вариант \( y_C = 20 \sqrt{5} \) (это соответствует расположению треугольника).
Шаг 5. Нахождение точки \( H \)
Высота \( CH \) опущена из \( C(50, 20 \sqrt{5}) \) на \( AB \). Так как \( AB \) — ось \( x \), высота \( CH \) — вертикальная линия, проходящая через \( C \), пересекающая \( AB \) в \( H \).
Тогда: \[ H = (x_H, 0), \] где \( x_H \) — проекция \( C \) на \( \( AB \).
Так как \( CH \) — высота, то она перпендикулярна \( AB \), что и есть вертикаль (по условию). Следовательно: \[ x_H = x_C = 50. \]
Длина высоты \( CH \) равна расстоянию по \( y \)-координате точки \( C \):
\[ CH = | y_C | = 20 \sqrt{5}. \]
Шаг 6. Найдём \( BH \)
Точка \( B = (90, 0) \), точка \( H = (50, 0) \).
Значит, \[ BH = |x_B - x_H| = 90 - 50 = 40. \]
Ответ:
\[ \boxed{BH = 40} \]
Если есть дополнительные уточнения или вопросы, пожалуйста, сообщите!
