Решите математическое уравнение 5√-243/32
Давайте подробно разберем задачу:
Решить выражение \( \frac{5 \sqrt{-243}}{32} \).
Шаг 1: Обратим внимание, что внутри корня у нас отрицательное число \(-243\).
Шаг 2: Работа с корнем из отрицательного числа. В комплексных числах квадратный корень из отрицательного выражения записывается через термин "мнимаая единица" \(i\), где \(i^2 = -1\).
Следовательно:
\[
\sqrt{-243} = \sqrt{243 \times (-1)} = \sqrt{243} \times \sqrt{-1} = \sqrt{243} \times i
\]
Шаг 3: Найдём \(\sqrt{243}\).
243 — это степень 3: \(243 = 3^5\).
Но проще — разложим на простые множители:
\(243 = 3 \times 81 = 3 \times 3^4 = 3^{1+4} = 3^5\).
Поиск корня:
\[
\sqrt{243} = \sqrt{3^5} = 3^{5/2} = 3^{2 + 1/2} = 3^2 \times 3^{1/2} = 9 \times \sqrt{3}
\]
Итак,
\[
\sqrt{-243} = 9 \sqrt{3} \times i
\]
Шаг 4: Подставим найденное обратно в исходное выражение:
\[
\frac{5 \times \sqrt{-243}}{32} = \frac{5 \times 9 \sqrt{3} i}{32}
\]
Шаг 5: Упростим числитель:
\[
(5 \times 9) \sqrt{3} i = 45 \sqrt{3} i
\]
Итак, окончательное выражение:
\[
\frac{45 \sqrt{3} i}{32}
\]
Это комплексное число в мнимой форме.
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{45 \sqrt{3} i}{32} } \]
Если нужен более компактный вид, то можно оставить так или записать отдельно реальную и мнимую части (здесь реальная часть — 0, а мнимая — \( \frac{45 \sqrt{3}}{32} \)).
