Давайте подробно разберем задачу:
Решить выражение ( \frac{5 \sqrt{-243}}{32} ).
Шаг 1: Обратим внимание, что внутри корня у нас отрицательное число (-243).
Шаг 2: Работа с корнем из отрицательного числа. В комплексных числах квадратный корень из отрицательного выражения записывается через термин "мнимаая единица" (i), где (i^2 = -1).
Следовательно:
[
\sqrt{-243} = \sqrt{243 \times (-1)} = \sqrt{243} \times \sqrt{-1} = \sqrt{243} \times i
]
Шаг 3: Найдём (\sqrt{243}).
243 — это степень 3: (243 = 3^5).
Но проще — разложим на простые множители:
(243 = 3 \times 81 = 3 \times 3^4 = 3^{1+4} = 3^5).
Поиск корня:
[
\sqrt{243} = \sqrt{3^5} = 3^{5/2} = 3^{2 + 1/2} = 3^2 \times 3^{1/2} = 9 \times \sqrt{3}
]
Итак,
[
\sqrt{-243} = 9 \sqrt{3} \times i
]
Шаг 4: Подставим найденное обратно в исходное выражение:
[
\frac{5 \times \sqrt{-243}}{32} = \frac{5 \times 9 \sqrt{3} i}{32}
]
Шаг 5: Упростим числитель:
[
(5 \times 9) \sqrt{3} i = 45 \sqrt{3} i
]
Итак, окончательное выражение:
[
\frac{45 \sqrt{3} i}{32}
]
Это комплексное число в мнимой форме.
Ответ:
[
\boxed{
\frac{45 \sqrt{3} i}{32}
}
]
Если нужен более компактный вид, то можно оставить так или записать отдельно реальную и мнимую части (здесь реальная часть — 0, а мнимая — ( \frac{45 \sqrt{3}}{32} )).
