x в четвертой степени - х во второй степени + 40x =400

Дано уравнение:
\[ x^4 - x^2 + 40x = 400 \]

Чтобы решить это уравнение, можно провести замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение станет:
\[ y^2 - y + 40x = 400 \]

Однако в исходном уравнении присутствует и \( x \), и \( y \). Для более простого решения попробуем искать корни методом подстановки или факторизации.

Но сначала заметим, что уравнение содержит степени \( x^4 \) и \( x^2 \), и то, что мы можем получить выражение только через \( x^2 \), — это показатель для substitution.

Перепишем исходное уравнение:
\[ x^4 - x^2 + 40x = 400 \]

Рассмотрим его как уравнение по \( x \):

1. Попробуем искать рациональные корни через теорию разрешимости уравнения.

Поскольку уравнение не содержит дробных или знатных коэффициентов, попробуем найти целые корни методом подбора.

Пусть \( x = k \), и проверим логичные значения.

Для быстрых проверок:

• \( x = 0 \): \( 0 - 0 + 0 = 0 \neq 400 \)
• \( x = 1 \): \( 1 - 1 + 40 = 40 \neq 400 \)
• \( x = -1 \): \( 1 - 1 - 40 = -40 \neq 400 \)
• \( x = 2 \): \( 16 - 4 + 80 = 92 \neq 400 \)
• \( x = -2 \): \( 16 - 4 - 80 = -68 \neq 400 \)
• \( x = 5 \): \( 625 - 25 + 200 = 800 \neq 400 \)
• \( x = -5 \): \( 625 - 25 - 200 = 400 \) — вот!

Значит, \( x = -5 \) — корень уравнения.

Проверка:
\[ (-5)^4 - (-5)^2 + 40 \times (-5) = 625 - 25 - 200 = 400 \] Верно.

Теперь, из уравнения осталось вычленить остальные корни.

Обозначим \( x = -5 \) — это один из корней и попробуем факторизовать исходное уравнение, разделив его на \( x + 5 \).

Используем многочленное деление:

Делим \( x^4 - x^2 + 40x - 400 \) на \( x + 5 \).

Для деления используем синтетический метод:

• Коэффициенты: 1 (x^4), 0 (x^3), -1 (x^2), 40 (x), -400 (свободный член).

Обозначим корень \( -5 \):

\[ \begin{array}{c|ccccc} -5 & 1 & 0 & -1 & 40 & -400 \\ & & -5 & 25 & -120 & 400 \\ \hline & 1 & -5 & 24 & -80 & 0 \\ \end{array} \]

Результат деления — многочлен степени 3:
\[ x^3 - 5x^2 + 24x - 80 \]

Значит:
\[ x^4 - x^2 + 40x - 400 = (x + 5)(x^3 - 5x^2 + 24x - 80) \]

Теперь решим кубическое уравнение:
\[ x^3 - 5x^2 + 24x - 80 = 0 \]

Проверим возможные целые корни с помощью теоремы виета — ищем делители свободного члена \(-80\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 16, \pm 20, \pm 40, \pm 80\).

Проверим \( x=1 \):
\[ 1 - 5 + 24 - 80 = -60 \neq 0 \]

\( x=2 \):
\[ 8 - 20 + 48 - 80 = -44 \neq 0 \]

\( x=4 \):
\[ 64 - 80 + 96 - 80 = 0 \]

Отлично! \( x=4 \) — ещё один корень.

Обозначим \( x=4 \) — корень многочлена. Выполним деление многочлена на \( x - 4 \).

Деление многочлена \( x^3 - 5x^2 + 24x -80 \) на \( x - 4 \):

Синтетическое деление:

• Коэффициенты: 1, -5, 24, -80

\[ \begin{array}{c|cccc} 4 & 1 & -5 & 24 & -80 \\ & & 4 & -4 & 80 \\ \hline & 1 & -1 & 20 & 0 \\ \end{array} \]

Результат — \( x^2 - x + 20 \)

Итак, исходное многочлен можно факторизовать так:

\[ (x + 5)(x - 4)(x^2 - x + 20) \]

Решим \( x^2 - x + 20 = 0 \).

Дисcriminант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 20 = 1 - 80 = -79 < 0 \]

Следовательно, уравнение не имеет действительных решений в этом квадратическом уравнении.

Ответ:

Действительные корни уравнения:

\[ x = -5 \quad \text{и} \quad x=4 \]

Конечный ответ:

Решение уравнения:
\[ \boxed{ x = -5\, \text{или}\, x=4 } \]