Рассмотрим уравнение:
[ x^4 - 11x^2 + 18 = 0 ]
Цель — понять, сколько у него корней, то есть решить уравнение.
Шаг 1. Обнаружим, что уравнение содержит члены с степенями ( x^4 ) и ( x^2 ). Это говорит о том, что его можно заменить на уравнение с меньшей степенью, сделав substitution (замену).
Обозначим:
[ y = x^2 ]
Тогда уравнение перепишется так:
[ y^2 - 11y + 18 = 0 ]
Это квадратичное уравнение по ( y ).
Шаг 2. Решим квадратичное уравнение:
[ y^2 - 11y + 18 = 0 ]
Используем формулу дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \times 1 \times 18 = 121 - 72 = 49 ]
Так как дискриминант положителен, у уравнения два решения:
[ y_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{11 \pm 7}{2} ]
Вычислим оба корня:
- ( y_1 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 )
- ( y_2 = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 )
Шаг 3. Теперь возвращаемся к ( x ). Напоминаем, что:
[ y = x^2 ]
Значит, для каждого ( y ) находим ( x ):
Если ( y = 9 ), то:
[ x^2 = 9 ]
[ x = \pm 3 ]
Если ( y = 2 ), то:
[ x^2 = 2 ]
[ x = \pm \sqrt{2} ]
Таким образом, уравнение имеет четыре корня:
[ x = 3,, -3,, \sqrt{2},, -\sqrt{2} ]
Ответ:
У уравнения 4 корня.
