Тело массой m совершает гармонические колебания так, что координата тела меняется с течением времени по закону x=x(t). Опередите амплитуду, круговую частоту, частоту, период…

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Дано:

• Закон колебаний: \(x(t) = 0,04 \sin(400\pi t + \pi/8)\)
• Масса тела: \(m = 0,02\, \text{кг}\)
• Время: \(t = 0,01\, \textсек}\)

1. Амплитуда \(A\):

Амплитуда — это максимальное смещение тела.

Из уравнения: \(\boxed{A = 0,04\, \text{м}}\)

---

2. Круговая частота \(\omega\):

В уравнении: \(x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)\), где \(\omega\) — круговая частота.

Дана: \(\omega = 400\pi\, \text{рад/с}\)

Ответ: \(\boxed{\omega = 400\pi\, \text{рад/с}}\)

---

3. Частота \(f\):

Связана с \(\omega\) через: \(\omega = 2\pi f \Rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi}\)

Подставим: \[ f = \frac{400\pi}{2\pi} = 200\, \text{Гц} \]

Ответ: \(\boxed{f = 200\, \text{Гц}}\)

---

4. Период колебаний \(T\):

Отношение: \(T = \frac{1}{f}\)

\[ T = \frac{1}{200} = 0,005\, \text{сек} \]

Ответ: \(\boxed{T = 0,005\, \text сек}}\)

---

5. Фаза \(\varphi\):

Из уравнения: \(\varphi = \pi/8\) радиан

Ответ: \(\boxed{\varphi = \pi/8}\)

---

6. Скорость \(v(t)\):

Первая производная \(x(t)\):

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \varphi) \]

Подставим: \[ v(t) = 0,04 \times 400\pi \times \cos(400\pi \times 0,01 + \pi/8) \]

Обчислим аргумент: \[ \omega t + \varphi = 400\pi \times 0,01 + \pi/8 = 4\pi + \pi/8 \]

Рассчитаем \(\cos(4\pi + \pi/8)\):

• \(\cos(4\pi + \pi/8) = \cos(\pi/8)\) (так как \(\cos\) — периодическая функция с периодом \(2\pi\))
• \(\cos(\pi/8) \approx 0,9808\)

Подставим: \[ v(t) \approx 0,04 \times 400\pi \times 0,9808 \] \[ v(t) \approx 0,04 \times 1256,64 \times 0,9808 \approx 0,04 \times 1232,8 \approx 49,3\, \text{м/с} \]

Ответ: \(\boxed{v(0,01) \approx 49,3\, \text{м/с}}\)

---

7. Ускорение \(a(t)\):

Вторая производная \(x(t)\):

\[ a(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi) \]

или через \(\cos\):

\[ a(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi) \]

Можно оставить так, или выразить через \(x(t)\): \[ a(t) = -\omega^2 x(t) \]

Подставим: \[ a(t) = -400^2 \pi^2 \times x(t) \]

Вычислим \(400^2 \pi^2\): \[ 400^2 = 160000 \] \[ a(t) = -160000 \pi^2 \times 0,04 \sin(400\pi t + \pi/8) \] \[ a(t) \approx -160000 \times 9,8696 \times 0,04 \sin(\ldots) \approx -160000 \times 0,3948 \sin(\ldots) \]

\[ a(t) \approx -63,17 \sin(400\pi t + \pi/8) \quad \text{м/с}^2 \]

На момент \(t=0,01\): \[ a(0,01) \approx -63,17 \times \sin(4\pi + \pi/8) \]

Так как \(\sin(4\pi + \pi/8) = \sin(\pi/8) \approx 0,3827\): \[ a(0,01) \approx -63,17 \times 0,3827 \approx -24,2\, \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(\boxed{a(0,01) \approx -24,2\, \text{м/с}^2}\)

---

8. Кинетическая энергия \(E_k\):

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]

Подставим: \[ E_k = \frac{1}{2} \times 0,02 \times (49,3)^2 \approx 0,01 \times 2430,5 \approx 24,3\, \text{Дж} \]

---

9. Сила \(F(t)\):

\[ F(t) = m a(t) \]

На момент \(t=0,01\):

\[ F \approx 0,02 \times (-24,2) = -0,484\, \text{Н} \]

---

Итоговые ответы:

Параметр	Значение
Амплитуда \(A\)	0,04 м
Круговая частота \(\omega\)	400\pi рад/с \(\approx 1256,64\) рад/с
Частота \(f\)	200 Гц
Период \(T\)	0,005 с
Фаза \(\varphi\)	\(\pi/8\) рад
Скорость в момент \(t=0,01\)	~49,3 м/с
Ускорение в момент \(t=0,01\)	~-24,2 м/с²
Кинетическая энергия	~24,3 Дж
Сила в момент \(t=0,01\)	~-0,484 Н

Если нужно, я могу помочь дополнительно или объяснить подробнее любой из этих пунктов.