Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.
Дано:
- Закон колебаний: (x(t) = 0,04 \sin(400\pi t + \pi/8))
- Масса тела: (m = 0,02, \text{кг})
- Время: (t = 0,01, \textсек})
1. Амплитуда (A):
Амплитуда — это максимальное смещение тела.
Из уравнения: (\boxed{A = 0,04, \text{м}})
2. Круговая частота (\omega):
В уравнении: (x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)), где (\omega) — круговая частота.
Дана: (\omega = 400\pi, \text{рад/с})
Ответ: (\boxed{\omega = 400\pi, \text{рад/с}})
3. Частота (f):
Связана с (\omega) через: (\omega = 2\pi f \Rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi})
Подставим:
[
f = \frac{400\pi}{2\pi} = 200, \text{Гц}
]
Ответ: (\boxed{f = 200, \text{Гц}})
4. Период колебаний (T):
Отношение: (T = \frac{1}{f})
[
T = \frac{1}{200} = 0,005, \text{сек}
]
Ответ: (\boxed{T = 0,005, \text сек}})
5. Фаза (\varphi):
Из уравнения: (\varphi = \pi/8) радиан
Ответ: (\boxed{\varphi = \pi/8})
6. Скорость (v(t)):
Первая производная (x(t)):
[
v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \varphi)
]
Подставим:
[
v(t) = 0,04 \times 400\pi \times \cos(400\pi \times 0,01 + \pi/8)
]
Обчислим аргумент:
[
\omega t + \varphi = 400\pi \times 0,01 + \pi/8 = 4\pi + \pi/8
]
Рассчитаем (\cos(4\pi + \pi/8)):
- (\cos(4\pi + \pi/8) = \cos(\pi/8)) (так как (\cos) — периодическая функция с периодом (2\pi))
- (\cos(\pi/8) \approx 0,9808)
Подставим:
[
v(t) \approx 0,04 \times 400\pi \times 0,9808
]
[
v(t) \approx 0,04 \times 1256,64 \times 0,9808 \approx 0,04 \times 1232,8 \approx 49,3, \text{м/с}
]
Ответ: (\boxed{v(0,01) \approx 49,3, \text{м/с}})
7. Ускорение (a(t)):
Вторая производная (x(t)):
[
a(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi)
]
или через (\cos):
[
a(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi)
]
Можно оставить так, или выразить через (x(t)):
[
a(t) = -\omega^2 x(t)
]
Подставим:
[
a(t) = -400^2 \pi^2 \times x(t)
]
Вычислим (400^2 \pi^2):
[
400^2 = 160000
]
[
a(t) = -160000 \pi^2 \times 0,04 \sin(400\pi t + \pi/8)
]
[
a(t) \approx -160000 \times 9,8696 \times 0,04 \sin(\ldots) \approx -160000 \times 0,3948 \sin(\ldots)
]
[
a(t) \approx -63,17 \sin(400\pi t + \pi/8) \quad \text{м/с}^2
]
На момент (t=0,01):
[
a(0,01) \approx -63,17 \times \sin(4\pi + \pi/8)
]
Так как (\sin(4\pi + \pi/8) = \sin(\pi/8) \approx 0,3827):
[
a(0,01) \approx -63,17 \times 0,3827 \approx -24,2, \text{м/с}^2
]
Ответ: (\boxed{a(0,01) \approx -24,2, \text{м/с}^2})
8. Кинетическая энергия (E_k):
[
E_k = \frac{1}{2} m v^2
]
Подставим:
[
E_k = \frac{1}{2} \times 0,02 \times (49,3)^2 \approx 0,01 \times 2430,5 \approx 24,3, \text{Дж}
]
9. Сила (F(t)):
[
F(t) = m a(t)
]
На момент (t=0,01):
[
F \approx 0,02 \times (-24,2) = -0,484, \text{Н}
]
Итоговые ответы:
| Параметр |
Значение |
| Амплитуда (A) |
0,04 м |
| Круговая частота (\omega) |
400\pi рад/с (\approx 1256,64) рад/с |
| Частота (f) |
200 Гц |
| Период (T) |
0,005 с |
| Фаза (\varphi) |
(\pi/8) рад |
| Скорость в момент (t=0,01) |
~49,3 м/с |
| Ускорение в момент (t=0,01) |
~-24,2 м/с² |
| Кинетическая энергия |
~24,3 Дж |
| Сила в момент (t=0,01) |
~-0,484 Н |
Если нужно, я могу помочь дополнительно или объяснить подробнее любой из этих пунктов.
