Найдите количество пятизначных записанных в девятеричной системе счисления чисел, в которых одна 1 и рядом с ней (слева или справа) НЕ могут стоять четные цифры.

Давайте подробно решим задачу. **Задача:** Найдите количество пятизначных чисел в девятеричной системе счисления (от 1 0000 до 88888), таких что: - В числе есть ровно одна цифра 1. - Эта цифра 1 расположена так, что рядом с ней (слева или справа) **не могут стоять** четные цифры. --- ## Шаг 1. Общие сведения - Девятеричная система: цифры от 0 до 8. - Пятизначное число: первая цифра не может быть нулем. - В числе должна быть ровно одна 1. - Посчитаем количество таких чисел. --- ## Шаг 2. Анализ условий **Ровно одна цифра 1** в числе означает, что остальные 4 цифры - это цифры из {0,2,3,4,5,6,7,8}. Должна быть позиция, где стоит 1. Рассмотрим случаи в зависимости от положения 1: Обозначим позиции цифр в числе: `d1 d2 d3 d4 d5` (от старшей к младшей). Индексировать позиции: 1-я (самая слева) до 5-й (справа). --- ## Шаг 3. Условие о соседних цифрах "Одна 1 и рядом с ней (слева или справа) НЕ могут стоять четные цифры." То есть: - Если 1 стоит на позициях 2, 3 или 4, то слева или справа не могут стоять четные цифры (2,4,6,8). - Если 1 стоит на границах (позиции 1 или 5), то условия применяются только к одному сосаду. Рассмотрим каждую возможность отдельно. --- ## Шаг 4. Варианты положения 1 ### 1. 1 на позиции 1 (первая цифра) - Тогда соседняя цифра — позиции 2. - Она **не может** быть четной. - В остальных позициях — любые цифры, кроме 1 (чтобы не было еще одного 1). Подсчитаем: - Цифра в позиции 1 — обязательно 1. - Цифра в позиции 2 — из {0,3,5,7} (все нечётные, чтобы не было четных, потому что не должны стоять рядом с 1). - Остальные три цифры — любые из {0,2,3,4,5,6,7,8}, но без 1 (чтобы не было второй 1). Обозначим: - Каждая из оставшихся 3 позиций (3-5) — из 8 вариантов (цифры без 1). Количество вариантов для каждого варианта: \[ \text{Всего} = 1 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8 \] где 1 — фиксированная цифра 1 в первой позиции, 4 — число вариантов для позиции 2, по 8 — для остальных позиций. --- ### 2. 1 на позиции 5 (последняя цифра) - Аналогично — соседняя цифра в позиции 4 не может быть четной. - В позиции 5 — 1. - В позиции 4 — из {0,3,5,7}. - Остальные (1-3) — любые из {0,2,3,4,5,6,7,8}, кроме 1 (чтобы не было второго 1): \[ \text{Всего} = 1 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8 \] Аналогично как в предыдущем случае. --- ### 3. 1 в позициях 2, 3 или 4 Рассмотри, например, 1 в позиции 2: - Тогда левый сосед — позиция 1 — не может быть четным (иначе порядок нарушается). - Правый сосед — позиция 3 — тоже не может быть четным. (Для позиций 3 или 4 — ситуация аналогична). #### Позиция 2: - В позиции 1: не может быть нулем, так как число пятизначное (начинается с цифры 1 или ненулевое). Но мы знаем, что цифра 1 в позиции 2 (не на границе). В этом случае, цифра 1 — в позиции 2, значит, в позиции 1 — может быть от 1 до 8, кроме 0 (иначе число не пятизначное). — Но поскольку в позиции 2 — 1, то в позиции 1 — не может быть нулём (иначе число будет начинаться с 0). — Итак, в позиции 1: от 2 до 8, кроме 1 (у нас уже есть 1 в позиции 2). — Остальные 3 позиции — любые из {0,2,3,4,5,6,7,8}, кроме 1, что даёт 8 вариантов для каждой. - В позиции 1: 7 вариантов (от 2 до 8, кроме 1). - В позиции 3 — не может быть четной (чтобы не было рядом с 1). Т.к. в позиции 2 стоит 1, соседние (позиции 1 и 3) не могут быть четными: - Позиция 1: из {2,3,5,7} (нечетные, чтобы не было четных). - Позиция 3 — тоже из {2,3,5,7}. --- #### Аналогично при 1 в позиции 3: - Тогда соседние — позиции 2 и 4 не могут быть четными. ▲ В позиции 2 — нельзя из {2,4,6,8} (чтобы не было четных). ▲ В позиции 4 — тоже нельзя из {2,4,6,8}. Остальные — любые, кроме 1. --- ## Итоговое решение Посчитаем для каждого варианта: ### Вариант A: 1 на позиции 1 \[ N_A = 1 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8 \] (4 — варианты для позиции 2, остальные три варианта — 8) ### Вариант B: 1 на позиции 5 \[ N_B = 1 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8 \] ### Вариант C: 1 на позиции 2 - Позиция 1: от 2 до 8, кроме 1 (т.е., {2,3,4,5,6,7,8}, исключая 1) — 7 вариантов. - Позиция 3: нечетная (из {3,5,7}) — 3 варианта. - остальные — любые из {0,2,3,4,5,6,7,8} без 1 — 8 вариантов. Общее для этого варианта: \[ N_{2} = 1 \times 7 \times 3 \times 8 \times 8 \] (учитывая, что позиции 2 — 1 и это фиксировано, а остальные — по выбранным ограничениям). ### Аналогично для позиции 3: - Позиция 1: не ноль, и не 1, тоже из {2,3,4,5,6,7,8} — 7 вариантов. - Позиция 4: нечетная {3,5,7} — 3 варианта. - остальные — любые допустимые. Общее: \[ N_{3} = 1 \times 7 \times 8 \times 3 \times 8 \] (учитываем, что в позициях 2 и 4 — нечетные цифры). --- ## Итоговое подсчёт: Общее число — сумма всех вариантов: \[ N_{\text{общ}} = N_A + N_B + N_2 + N_3 \] Подставляя: \[ N_A = 1 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8 = 4 \times 512 = 2048 \] \[ N_B = 2048 \] \[ N_2 = 1 \times 7 \times 3 \times 8 \times 8 = 7 \times 3 \times 64 = 7 \times 192 = 1344 \] \[ N_3 = 1 \times 7 \times 8 \times 3 \times 8 = 7 \times 8 \times 3 \times 8 \] Посчитаем: \[ 7 \times 8 = 56 \] \[ 56 \times 3 = 168 \] \[ 168 \times 8 = 1344 \] Итак: \[ N_3 = 1344 \] Итого: \[ N_{\text{общ}} = 2048 + 2048 + 1344 + 1344 = 4096 + 2688 = 6784 \] --- ## **Ответ:** **Количество пятизначных чисел в девятеричной системе с одной цифрой 1, рядом с которой не могут стоять четные цифры, равно 6784.**