В прямоугольнике с вершинами  A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4),  B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6),  C ( 8 ; 6 ) C(8;6),  D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку  X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами  y ≤ x y≤x и  y ≤ 1 y≤1.

Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним решение. ### Шаг 1. Определим параметры задачи - Дана область — прямоугольник с вершинами: - \(A(-4; -4)\) - \(B(-4; 6)\) - \(C(8; 6)\) - \(D(8; -4)\) - Внутри этого прямоугольника выбирается точка \(X(x; y)\). - Нужно найти вероятность того, что эта точка принадлежит области, заданной неравенствами: \[ y \leq x \quad \text{и} \quad y \leq 1 \] ### Шаг 2. Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника: \[ S_{\text{прямоугольника}} = \text{длина} \times \text{ширина} \] - по оси x: от \(-4\) до \(8\), то есть длина: \[ 8 - (-4) = 12 \] - по оси y: от \(-4\) до 6, ширина: \[ 6 - (-4) = 10 \] Тогда площадь: \[ S_{\text{прямоугольника}} = 12 \times 10 = 120 \] ### Шаг 3. Область, заданная неравенствами Область, в которой лежит точка \(X(x; y)\), задается неравенствами: 1. \( y \leq x \) — это область ниже (или на границе) наклонной прямой \( y = x \). 2. \( y \leq 1 \) — это область ниже (или на границе) горизонтальной линии \( y = 1 \). Нужно понять, какая часть прямоугольника попадает в объединение или пересечение этих областей. --- ### Шаг 4. Построим графики линий - Линия \( y = x \) — проходит через точки \((-4, -4)\), \((0, 0)\), \((8, 8)\), и дальше. - Линия \( y = 1 \) — горизонтальная линия, проходит через все точки с \( y = 1 \) и ограничивает сверху. --- ### Шаг 5. Найдём область, заданную неравенствами Область, которая удовлетворяет сразу двум неравенствам: - \( y \leq x \) - \( y \leq 1 \) Это — часть плоскости, находящаяся ниже (или на границах) обеих линий. На графике видно: - График линии \( y = x \). - График линии \( y = 1 \). Искомая область — это пересечение половин линий. Поскольку \( y \leq 1 \), то мы рассматриваем все точки, расположенные ниже горизонтальной линии \( y=1 \). Также, эти точки должны удовлетворять \( y \leq x \), то есть находиться ниже диагональной линии. --- ### Шаг 6. Рассмотрим пересечение области с прямоугольником Пределы прямоугольника: - \( x \) от \(-4\) до \(8\), - \( y \) от \(-4\) до 6. Область, заданная неравенствами, ограничена линиями: - \( y = 1 \), - \( y = x \). Внутри прямоугольника, в районе \( y \leq 1 \), линия \( y = 1 \) — верхняя граница области. Границы по \( y \): - сверху: \( y = 1 \) (для области), - снизу: нижняя граница — минимальное значение \( y \) в пределах прямоугольника, то есть \(-4\)). Границы по \( x \) для этой области, в зависимости от \( y \): - Для точки при \( y \leq 1 \), - \( y \leq x \) — значит, для каждого \( y \), \( x \geq y \). --- ### Шаг 7. Найдём координаты границ - В области ограничения, \( y \leq 1 \). - Внутри прямоугольника, \( -4 \leq y \leq 1 \). Для каждого \( y \) от \(-4 \) до 1, \( x \) меняется от \(x_{min} = -4\) (левая граница прямоугольника) до \(x_{max} = \min(8, y)\). Но так как \( y \leq x \), для каждой точки: \[ x \geq y \] А значит, при любом \( y \), \[ x \) будет в диапазоне: \( x \) от \( \max(-4, y) \) до 8. --- ### Шаг 8. Визуализация и вычисление площади Область «интересующая» — это все точки внутри прямоугольника, удовлетворяющие: \[ -4 \leq y \leq 1 \] и \[ y \leq x \leq 8 \] Для каждого \( y \) от \(-4 \) до \( 1 \), \( x \) изменяется от \( x_{min} = \max(-4, y) \) до \( x_{max} = 8 \). Поскольку \( y \leq 1 \) и \( y \geq -4 \), и в случае \( y \geq -4 \), - если \( y \geq -4 \), то \( y \geq -4 \) (все, так как границы совпадают по минимальному значению). - \( x \) от \( y \) до 8. --- ### Шаг 9. Вычисляем площадь интересующей области Интегрируем по \( y \) от \(-4 \) до 1: \[ S = \int_{y=-4}^{1} \left( x_{max} - x_{min} \right) dy \] Где: \[ x_{max} = 8 \] \[ x_{min} = y \] Следовательно, \[ S = \int_{-4}^{1} (8 - y) dy \] Рассчитаем: \[ S = \int_{-4}^{1} 8\, dy - \int_{-4}^{1} y\, dy \] Первая часть: \[ 8 \times (1 - (-4)) = 8 \times 5 = 40 \] Вторая часть: \[ \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-4}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-4)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{16}{2} = \frac{1 - 16}{2} = -\frac{15}{2} = -7.5 \] Тогда площадь: \[ S = 40 - (-7.5) = 40 + 7.5 = 47.5 \] --- ### Шаг 10. Вычисление вероятности Вероятность — это отношение площади интересующей области к общей площади прямоугольника: \[ P = \frac{\text{площадь интересующей области}}{\text{площадь прямоугольника}} = \frac{47.5}{120} \] Наиболее простая дробь или же выражение: \[ P = \frac{47.5}{120} = \frac{95/2}{120} = \frac{95}{2 \times 120} = \frac{95}{240} \] Упростим: \[ P = \frac{19}{48} \] ### Итог: **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{19}{48} } \] Это и есть вероятность того, что случайно выбранная точка внутри данного прямоугольника принадлежит области, заданной неравенствами \( y \leq x \) и \( y \leq 1 \).