В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4) , B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6) , C ( 8 ; 6 ) C(8;6) , D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y) . Найди…
В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4), B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6), C ( 8 ; 6 ) C(8;6), D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y ≤ x y≤x и y ≤ 1 y≤1.
Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним решение.
Шаг 1. Определим параметры задачи
Дана область — прямоугольник с вершинами:
- \(A(-4; -4)\)
- \(B(-4; 6)\)
- \(C(8; 6)\)
- \(D(8; -4)\)
Внутри этого прямоугольника выбирается точка \(X(x; y)\).
Нужно найти вероятность того, что эта точка принадлежит области, заданной неравенствами: \[ y \leq x \quad \text{и} \quad y \leq 1 \]
Шаг 2. Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника: \[ S_{\text{прямоугольника}} = \text{длина} \times \text{ширина} \]
по оси x: от \(-4\) до \(8\), то есть длина: \[ 8 - (-4) = 12 \]
по оси y: от \(-4\) до 6, ширина: \[ 6 - (-4) = 10 \]
Тогда площадь: \[ S_{\text{прямоугольника}} = 12 \times 10 = 120 \]
Шаг 3. Область, заданная неравенствами
Область, в которой лежит точка \(X(x; y)\), задается неравенствами:
\( y \leq x \) — это область ниже (или на границе) наклонной прямой \( y = x \).
\( y \leq 1 \) — это область ниже (или на границе) горизонтальной линии \( y = 1 \).
Нужно понять, какая часть прямоугольника попадает в объединение или пересечение этих областей.
Шаг 4. Построим графики линий
Линия \( y = x \) — проходит через точки \((-4, -4)\), \((0, 0)\), \((8, 8)\), и дальше.
Линия \( y = 1 \) — горизонтальная линия, проходит через все точки с \( y = 1 \) и ограничивает сверху.
Шаг 5. Найдём область, заданную неравенствами
Область, которая удовлетворяет сразу двум неравенствам:
- \( y \leq x \)
- \( y \leq 1 \)
Это — часть плоскости, находящаяся ниже (или на границах) обеих линий.
На графике видно:
- График линии \( y = x \).
- График линии \( y = 1 \).
Искомая область — это пересечение половин линий.
Поскольку \( y \leq 1 \), то мы рассматриваем все точки, расположенные ниже горизонтальной линии \( y=1 \).
Также, эти точки должны удовлетворять \( y \leq x \), то есть находиться ниже диагональной линии.
Шаг 6. Рассмотрим пересечение области с прямоугольником
Пределы прямоугольника:
- \( x \) от \(-4\) до \(8\),
- \( y \) от \(-4\) до 6.
Область, заданная неравенствами, ограничена линиями:
- \( y = 1 \),
- \( y = x \).
Внутри прямоугольника, в районе \( y \leq 1 \), линия \( y = 1 \) — верхняя граница области.
Границы по \( y \):
- сверху: \( y = 1 \) (для области),
- снизу: нижняя граница — минимальное значение \( y \) в пределах прямоугольника, то есть \(-4\)).
Границы по \( x \) для этой области, в зависимости от \( y \):
- Для точки при \( y \leq 1 \),
- \( y \leq x \) — значит, для каждого \( y \), \( x \geq y \).
Шаг 7. Найдём координаты границ
- В области ограничения, \( y \leq 1 \).
- Внутри прямоугольника, \( -4 \leq y \leq 1 \).
Для каждого \( y \) от \(-4 \) до 1, \( x \) меняется от \(x_{min} = -4\) (левая граница прямоугольника) до \(x_{max} = \min(8, y)\).
Но так как \( y \leq x \), для каждой точки: \[ x \geq y \]
А значит, при любом \( y \), \[ x \) будет в диапазоне: \( x \) от \( \max(-4, y) \) до 8. --- ### Шаг 8. Визуализация и вычисление площади Область «интересующая» — это все точки внутри прямоугольника, удовлетворяющие: \[ -4 \leq y \leq 1 \] и \[ y \leq x \leq 8 \]
Для каждого \( y \) от \(-4 \) до \( 1 \), \( x \) изменяется от \( x_{min} = \max(-4, y) \) до \( x_{max} = 8 \).
Поскольку \( y \leq 1 \) и \( y \geq -4 \), и в случае \( y \geq -4 \),
- если \( y \geq -4 \), то \( y \geq -4 \) (все, так как границы совпадают по минимальному значению).
- \( x \) от \( y \) до 8.
Шаг 9. Вычисляем площадь интересующей области
Интегрируем по \( y \) от \(-4 \) до 1:
\[ S = \int_{y=-4}^{1} \left( x_{max} - x_{min} \right) dy \]
Где: \[ x_{max} = 8 \] \[ x_{min} = y \]
Следовательно, \[ S = \int_{-4}^{1} (8 - y) dy \]
Рассчитаем:
\[ S = \int_{-4}^{1} 8\, dy - \int_{-4}^{1} y\, dy \]
Первая часть: \[ 8 \times (1 - (-4)) = 8 \times 5 = 40 \]
Вторая часть: \[ \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-4}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-4)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{16}{2} = \frac{1 - 16}{2} = -\frac{15}{2} = -7.5 \]
Тогда площадь:
\[ S = 40 - (-7.5) = 40 + 7.5 = 47.5 \]
Шаг 10. Вычисление вероятности
Вероятность — это отношение площади интересующей области к общей площади прямоугольника:
\[ P = \frac{\text{площадь интересующей области}}{\text{площадь прямоугольника}} = \frac{47.5}{120} \]
Наиболее простая дробь или же выражение:
\[ P = \frac{47.5}{120} = \frac{95/2}{120} = \frac{95}{2 \times 120} = \frac{95}{240} \]
Упростим:
\[ P = \frac{19}{48} \]
Итог:
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{19}{48} } \]
Это и есть вероятность того, что случайно выбранная точка внутри данного прямоугольника принадлежит области, заданной неравенствами \( y \leq x \) и \( y \leq 1 \).
