Найди площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 12 и 5 5 .

Давайте решим задачу по этапам и подробно объясним каждый шаг.

Задача: Найти площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5.

Шаг 1. Обозначим известные данные

• Катеты треугольника: 12 и 5.
• Треугольник прямоугольный, значит гипотенуза — это гипотенуза прямого треугольника.
• Нам нужно найти площадь окружности, в которую вписан этот треугольник.

Шаг 2. Найдите гипотенузу треугольника

Гипотенуза (обозначим её \( c \)) находится по формуле Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( a \) и \( b \) — катеты.

Подставим: \[ c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]

Гипотенуза равна 13.

Шаг 3. Связь между вписанной окружностью и треугольником

Для прямоугольного треугольника есть важное свойство: радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипotenуза.

Подставим: \[ r = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Радиус вписанной окружности равен 2.

Шаг 4. Найдите площадь круга

Площадь окружности вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] Подставим \( r = 2 \): \[ S = \pi \times 2^2 = \pi \times 4 = 4\pi \]

Ответ:

Площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5, равна \( \boxed{4\pi} \).