.

Давайте подробно разберем вашу задачу и найдём её значение пошагово. Задача: \[ \frac{\sin x + \sin \left( x + \frac{47\pi}{2} \right)}{\cos x + \cos x \cdot \cos 2x} \] при условии, что \(\tg x = 3\). --- ### Шаг 1: Используем условие \(\tg x = 3\) Из тригонометрии известно: \[ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \] Отсюда: \[ \sin x = 3 \cos x \] --- ### Шаг 2: Упростим выражение в числителе Числитель: \[ \sin x + \sin \left( x + \frac{47\pi}{2} \right) \] Используем формулу суммы синусов: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \] Кому: \[ A = x,\quad B = x + \frac{47\pi}{2} \] Тогда: \[ \frac{A + B}{2} = \frac{x + x + \frac{47\pi}{2}}{2} = x + \frac{47\pi}{4} \] \[ \frac{A - B}{2} = \frac{x - (x + \frac{47\pi}{2})}{2} = - \frac{47\pi}{4} \] Следовательно: \[ \sin x + \sin \left( x + \frac{47\pi}{2} \right) = 2 \sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right) \cos \left( - \frac{47\pi}{4} \right) \] Но \(\cos\) — четная функция, значит: \[ \cos \left( - \frac{47\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{47\pi}{4} \right) \] --- ### Шаг 3: Упростим \(\cos \left( \frac{47\pi}{4} \right)\) \( \frac{47\pi}{4} \) — это: \[ 47 \div 4 = 11 \text{ целых частей} + \frac{3}{4} \] или, по сути, это: \[ \frac{47\pi}{4} = 11\pi + \frac{3\pi}{4} \] Теперь: \[ \cos \left( 11\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = \cos 11\pi \cdot \cos \frac{3\pi}{4} - \sin 11\pi \cdot \sin \frac{3\pi}{4} \] (по формуле суммы косинусов) Но, поскольку \(\sin 11\pi=0\), а \(\cos 11\pi = \cos (\pi \times 11) = (-1)^{11} = -1\): \[ \cos \left( 11\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = (-1) \cdot \cos \frac{3\pi}{4} - 0 = - \cos \frac{3\pi}{4} \] Известно, что: \[ \cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \] Значит: \[ \cos \left( \frac{47\pi}{4} \right) = - \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] --- ### Шаг 4: Подставим в числитель Теперь числитель: \[ 2 \sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right) \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right) \cdot \sqrt{2} \] Аналогично, \(\sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right)\) — выражение, его можно переписать, если заметить, что \(\frac{47\pi}{4} = 11\pi + \frac{3\pi}{4}\): \[ x + \frac{47\pi}{4} = x + 11\pi + \frac{3\pi}{4} \] Так как \(\sin(\alpha + k\pi) = (-1)^k \sin \alpha\), и \(11\) — нечетное число, значит: \[ \sin \left( x + 11\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = (-1)^{11} \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) = - \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) \] Итак, числитель: \[ \sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right) \cdot \sqrt{2} = - \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) \cdot \sqrt{2} \] --- ### Шаг 5: Выразим \(\sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right)\) Используем сумму: \[ \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) = \sin x \cos \frac{3\pi}{4} + \cos x \sin \frac{3\pi}{4} \] Значения: \[ \cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Мы знаем: \[ \sin x = 3 \cos x \] Тогда: \[ \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) = (3 \cos x) \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \cos x \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] \[ = -3 \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ( -3 + 1) = -2 \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ = - \cos x \sqrt{2} \] Следовательно, числитель: \[ - \left( - \cos x \sqrt{2} \right) \cdot \sqrt{2} = \cos x \sqrt{2} \times \sqrt{2} = \cos x \times 2 \] --- ### Шаг 6: Упростим знаменатель Знаменатель: \[ \cos x + \cos x \cdot \cos 2x = \cos x (1 + \cos 2x) \] Используем формулу для \(\cos 2x\): \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x -1 \] Тогда: \[ 1 + \cos 2x = 1 + 2 \cos^2 x - 1 = 2 \cos^2 x \] Значит, знаменатель: \[ \cos x \times 2 \cos^2 x = 2 \cos^3 x \] --- ### Шаг 7: Итоговое выражение Теперь имеем: \[ \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}} = \frac{2 \cos x}{2 \cos^3 x} = \frac{2 \cos x}{2 \cos^3 x} \] Сокращая \(2\): \[ = \frac{\cos x}{\cos^3 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \] Используем \(\sin x = 3 \cos x\): \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \] Дано, что \(\tan x=3\). Тогда из тригонометрической тождественности: \[ \cos^2 x = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} \] Значит: \[ \frac{1}{\cos^2 x} = 10 \] --- ## Итог: