.
Давайте подробно разберем вашу задачу и найдём её значение пошагово.
Задача: \[ \frac{\sin x + \sin \left( x + \frac{47\pi}{2} \right)}{\cos x + \cos x \cdot \cos 2x} \] при условии, что \(\tg x = 3\).
Шаг 1: Используем условие \(\tg x = 3\)
Из тригонометрии известно:
\[ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \]
Отсюда:
\[ \sin x = 3 \cos x \]
Шаг 2: Упростим выражение в числителе
Числитель:
\[ \sin x + \sin \left( x + \frac{47\pi}{2} \right) \]
Используем формулу суммы синусов:
\[ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \]
Кому:
\[ A = x,\quad B = x + \frac{47\pi}{2} \]
Тогда:
\[ \frac{A + B}{2} = \frac{x + x + \frac{47\pi}{2}}{2} = x + \frac{47\pi}{4} \] \[ \frac{A - B}{2} = \frac{x - (x + \frac{47\pi}{2})}{2} = - \frac{47\pi}{4} \]
Следовательно:
\[ \sin x + \sin \left( x + \frac{47\pi}{2} \right) = 2 \sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right) \cos \left( - \frac{47\pi}{4} \right) \]
Но \(\cos\) — четная функция, значит:
\[ \cos \left( - \frac{47\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{47\pi}{4} \right) \]
Шаг 3: Упростим \(\cos \left( \frac{47\pi}{4} \right)\)
\( \frac{47\pi}{4} \) — это:
\[ 47 \div 4 = 11 \text{ целых частей} + \frac{3}{4} \]
или, по сути, это:
\[ \frac{47\pi}{4} = 11\pi + \frac{3\pi}{4} \]
Теперь:
\[ \cos \left( 11\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = \cos 11\pi \cdot \cos \frac{3\pi}{4} - \sin 11\pi \cdot \sin \frac{3\pi}{4} \] (по формуле суммы косинусов)
Но, поскольку \(\sin 11\pi=0\), а \(\cos 11\pi = \cos (\pi \times 11) = (-1)^{11} = -1\):
\[ \cos \left( 11\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = (-1) \cdot \cos \frac{3\pi}{4} - 0 = - \cos \frac{3\pi}{4} \]
Известно, что:
\[ \cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Значит:
\[ \cos \left( \frac{47\pi}{4} \right) = - \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 4: Подставим в числитель
Теперь числитель:
\[ 2 \sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right) \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right) \cdot \sqrt{2} \]
Аналогично, \(\sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right)\) — выражение, его можно переписать, если заметить, что \(\frac{47\pi}{4} = 11\pi + \frac{3\pi}{4}\):
\[ x + \frac{47\pi}{4} = x + 11\pi + \frac{3\pi}{4} \]
Так как \(\sin(\alpha + k\pi) = (-1)^k \sin \alpha\), и \(11\) — нечетное число, значит:
\[ \sin \left( x + 11\pi + \frac{3\pi}{4} \right) = (-1)^{11} \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) = - \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) \]
Итак, числитель:
\[ \sin \left( x + \frac{47\pi}{4} \right) \cdot \sqrt{2} = - \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) \cdot \sqrt{2} \]
Шаг 5: Выразим \(\sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right)\)
Используем сумму:
\[ \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) = \sin x \cos \frac{3\pi}{4} + \cos x \sin \frac{3\pi}{4} \]
Значения:
\[ \cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Мы знаем:
\[ \sin x = 3 \cos x \]
Тогда:
\[ \sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) = (3 \cos x) \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \cos x \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \] \[ = -3 \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ( -3 + 1) = -2 \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ = - \cos x \sqrt{2} \]
Следовательно, числитель:
\[ - \left( - \cos x \sqrt{2} \right) \cdot \sqrt{2} = \cos x \sqrt{2} \times \sqrt{2} = \cos x \times 2 \]
Шаг 6: Упростим знаменатель
Знаменатель:
\[ \cos x + \cos x \cdot \cos 2x = \cos x (1 + \cos 2x) \]
Используем формулу для \(\cos 2x\):
\[ \cos 2x = 2 \cos^2 x -1 \]
Тогда:
\[ 1 + \cos 2x = 1 + 2 \cos^2 x - 1 = 2 \cos^2 x \]
Значит, знаменатель:
\[ \cos x \times 2 \cos^2 x = 2 \cos^3 x \]
Шаг 7: Итоговое выражение
Теперь имеем:
\[ \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}} = \frac{2 \cos x}{2 \cos^3 x} = \frac{2 \cos x}{2 \cos^3 x} \]
Сокращая \(2\):
\[ = \frac{\cos x}{\cos^3 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \]
Используем \(\sin x = 3 \cos x\):
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \]
Дано, что \(\tan x=3\). Тогда из тригонометрической тождественности:
\[ \cos^2 x = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} \]
Значит:
\[ \frac{1}{\cos^2 x} = 10 \]
