Рассмотрим задачу: необходимо найти длину окружности ( C ) и площадь круга ( S ), если окружность вписана в квадрат, площадь которого равна 64 см².
Шаг 1. Определим сторону квадрата.
Площадь квадрата равна ( 64,см^2 ).
Формула площади квадрата:
[
S_{квадрата} = a^2
]
где ( a ) — сторона квадрата.
Найдём сторону квадрата:
[
a = \sqrt{64} = 8,см
]
Шаг 2. Связь между окружностью и квадратом.
Окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в точках.
Радиус вписанной окружности равен полусумой высоты квадрата, то есть он равен расстоянию от центра квадрата до стороны.
Вписанная окружность касается сторон квадрата в их серединах, и её диаметр равен стороне квадрата:
[
d = a = 8,см
]
Следовательно, радиус ( r ) равен половине диаметра:
[
r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4,см
]
Шаг 3. Находим длину окружности ( C ).
Формула длины окружности:
[
C = 2\pi r
]
Подставим значение ( r ):
[
C = 2 \pi \times 4 = 8\pi,см
]
Ответ на первый вопрос:
[
\boxed{
C = 8\pi,см
}
]
Шаг 4. Находим площадь круга ( S ).
Формула площади круга:
[
S = \pi r^2
]
Подставляем ( r = 4,см ):
[
S = \pi \times 4^2 = \pi \times 16 = 16\pi,см^2
]
Ответ на второй вопрос:
[
\boxed{
S = 16\pi,см^2
}
]
Итог:
- Длина окружности: ( 8\pi,см ) (примерно 25,13 см)
- Площадь круга: ( 16\pi,см^2 ) (примерно 50,27 см²)
