Найдите длину окружности C C и площадь круга S S, если окружность вписана в квадрат, площадь которого равна 64 с м 2 64 см 2 .

Рассмотрим задачу: необходимо найти длину окружности \( C \) и площадь круга \( S \), если окружность вписана в квадрат, площадь которого равна 64 см².

Шаг 1. Определим сторону квадрата.
Площадь квадрата равна \( 64\,см^2 \).
Формула площади квадрата:
\[ S_{квадрата} = a^2 \] где \( a \) — сторона квадрата.

Найдём сторону квадрата:
\[ a = \sqrt{64} = 8\,см \]

Шаг 2. Связь между окружностью и квадратом.
Окружность, вписанная в квадрат, касается его сторон в точках.
Радиус вписанной окружности равен полусумой высоты квадрата, то есть он равен расстоянию от центра квадрата до стороны.

Вписанная окружность касается сторон квадрата в их серединах, и её диаметр равен стороне квадрата:
\[ d = a = 8\,см \]

Следовательно, радиус \( r \) равен половине диаметра:
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4\,см \]

Шаг 3. Находим длину окружности \( C \).
Формула длины окружности:
\[ C = 2\pi r \] Подставим значение \( r \):
\[ C = 2 \pi \times 4 = 8\pi\,см \]

Ответ на первый вопрос:
\[ \boxed{ C = 8\pi\,см } \]

Шаг 4. Находим площадь круга \( S \).
Формула площади круга:
\[ S = \pi r^2 \] Подставляем \( r = 4\,см \):
\[ S = \pi \times 4^2 = \pi \times 16 = 16\pi\,см^2 \]

Ответ на второй вопрос:
\[ \boxed{ S = 16\pi\,см^2 } \]

Итог:

• Длина окружности: \( 8\pi\,см \) (примерно 25,13 см)
• Площадь круга: \( 16\pi\,см^2 \) (примерно 50,27 см²)